TOPSIS算法优劣解距离法的应用

TOPSIS算法是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距

Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法。

一、算法理论部分

对于TOPSIS算法的理论介绍，小编将以曾经在大二时学习的笔记作为分享演示，当时学习的是清风数学建模，也算是作为一个怀念吧~

言归正传，基本过程为先将原始数据矩阵统一指标类型（一般正向化处理）得到正向化的矩阵，再对正向化的矩阵进行标准化处理以消除各指标量纲的影响，并找到有限方案中的最优方案和最劣方案，然后分别计算各评价对象与最优方案和最劣方案间的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。该方法对数据分布及样本含量没有严格限制，数据计算简单易行。下面我们开始对TOPSIS的算法理论娓娓道来。

第一步：将原始矩阵正向化有常见的四种指标！

所谓的将原始矩阵正向化，就是要将所有的指标类型统一转化为极大型指标。（转换的函数形式可以不唯一哦~ ）

其中的四种指标如下图所示：

图1 正向化时的四种指标

（1）对于：极小型指标——>极大型指标

（2）对于：中间型指标——>极大型指标

中间型指标：指标值既不要太大也不要太小，取某特定值最好（如水质量评估 PH 值）。例子：

（3）对于：区间型指标——>极大型指标

区间型指标：指标值落在某个区间内最好，例如人的体温在36°～37°这个区间比较好。例子：

第二步：正向化矩阵标准化

（标准化的目的是消除不同指标量纲的影响）

注意：标准化的方法有很多种，主要目的就是去除量纲的影响，未来我们还可能见到更多种的标准化方法，例如：(x‐x的均值)/x的标准差；具体选用哪一种标准化的方法在多数情况下并没有很大的限制，这里我们采用的是比较多的一种标准化方法。

第三步：计算得分并归一化

  二、TOPSIS算法模型的应用

案例：评价下表中20条河流的水质情况

（数据是随手编的，仅用于讲解相应的算法，可能有不合理之处，请见谅）

表1 20条河流的水质情况汇总

河流	含氧量（ppm)	PH值	细菌总数(个/mL)	植物性营养物量（ppm)
A	4.69	6.59	51	11.94
B	2.03	7.86	19	6.46
C	9.11	6.31	46	8.91
D	8.61	7.05	46	26.43
E	7.13	6.5	50	23.57
F	2.39	6.77	38	24.62
G	7.69	6.79	38	6.01
H	9.3	6.81	27	31.57
I	5.45	7.62	5	18.46
J	6.19	7.27	17	7.51
K	7.93	7.53	9	6.52
L	4.4	7.28	17	25.3
M	7.46	8.24	23	14.42
N	2.01	5.55	47	26.31
O	2.04	6.4	23	17.91
P	7.73	6.14	52	15.72
Q	6.35	7.58	25	29.46
R	8.29	8.41	39	12.02
S	3.54	7.27	54	3.16
T	7.44	6.26	8	28.41

对于上表的数据，我们可以确定出有20个评价对象（A--T），有4列评价指标，分别是：含氧量、PH值、细菌总数、植物性营养物量。

我们规定：含氧量越高越好；PH值越接近7越好；细菌总数越少越好；植物性营养物量介于10‐20之间最佳，超过20或低于10均不好。

所以可以知道含氧量为极大型指标（不需要正向化处理），PH值为中间型指标（需要正向化处理），细菌总数为极小型指标（需要正向化处理），植物性营养物量为区间型指标（需要正向化处理）。

利用MATLAB进行算法编程与建模求解，并给出算法代码的详细注释与MATLAB求解的过程展示。

算法代码的详细注释

第一步：首先读取数据

第一步：把数据复制到工作区，并将这个矩阵命名为X % （1）在工作区右键，点击新建（Ctrl+N)，输入变量名称为X % （2）在Excel中复制数据，再回到Excel中右键，点击粘贴Excel数据（Ctrl+Shift+V） % （3）关掉这个窗口，点击X变量，右键另存为，保存为mat文件（下次就不用复制粘贴了，只需使用load命令即可加载数据） % （4）注意，代码和数据要放在同一个目录下哦，且Matlab的当前文件夹也要是这个目录。 clear;clc load data_water_quality.mat %data_water_quality.mat为案例数据

第二步：判断是否需要正向化

第二步：判断是否需要正向化 [n,m] = size(X); disp(['共有' num2str(n) '个评价对象, ' num2str(m) '个评价指标']) Judge = input(['这' num2str(m) '个指标是否需要经过正向化处理，需要请输入1 ，不需要输入0：']); if Judge == 1 Position = input('请输入需要正向化处理的指标所在的列，例如第2、3、6三列需要处理，那么你需要输入[2,3,6]：'); %[2,3,4] disp('请输入需要处理的这些列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型） ') Type = input('例如：第2列是极小型，第3列是区间型，第6列是中间型，就输入[1,3,2]：'); %[2,1,3] % 注意，Position和Type是两个同维度的行向量 for i = 1 : size(Position,2) %这里需要对这些列分别处理，因此我们需要知道一共要处理的次数，即循环的次数 X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i)); % Positivization是我们自己定义的函数，其作用是进行正向化，其一共接收三个参数 % 第一个参数是要正向化处理的那一列向量 X(:,Position(i)) , X(:,n)表示取第n列的全部元素 % 第二个参数是对应的这一列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型） % 第三个参数是告诉函数我们正在处理的是原始矩阵中的哪一列 % 该函数有一个返回值，它返回正向化之后的指标，我们可以将其直接赋值给我们原始要处理的那一列向量 end disp('正向化后的矩阵 X = ') disp(X) end

第三步：对正向化后的矩阵进行标准化

第三步：对正向化后的矩阵进行标准化 Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1); disp('标准化矩阵 Z = ') disp(Z)

第四步：计算与最大值的距离和最小值的距离，并算出得分

第四步：计算与最大值的距离和最小值的距离，并算出得分 D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5; % D+ 与最大值的距离向量 D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5; % D- 与最小值的距离向量 S = D_N ./ (D_P+D_N); % 未归一化的得分 disp('最后的得分为：') stand_S = S / sum(S) [sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend')

使用MATLAB编写的TOPSIS算法中定义的函数如下

Positivization函数定义的代码:

注意:自定义的函数要单独放在一个m文件中，不可以直接放在主函数里面（和其他大多数语言不同） function [posit_x] = Positivization(x,type,i) % 输入变量有三个： % x：需要正向化处理的指标对应的原始列向量 % type： 指标的类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型） % i: 正在处理的是原始矩阵中的哪一列 % 输出变量posit_x表示：正向化后的列向量 if type == 1 %极小型 disp(['第' num2str(i) '列是极小型，正在正向化'] ) posit_x = Min2Max(x); %调用Min2Max函数来正向化 disp(['第' num2str(i) '列极小型正向化处理完成'] ) disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~') elseif type == 2 %中间型 disp(['第' num2str(i) '列是中间型'] ) best = input('请输入最佳的那一个值： '); posit_x = Mid2Max(x,best); disp(['第' num2str(i) '列中间型正向化处理完成'] ) disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~') elseif type == 3 %区间型 disp(['第' num2str(i) '列是区间型'] ) a = input('请输入区间的下界： '); b = input('请输入区间的上界： '); posit_x = Inter2Max(x,a,b); disp(['第' num2str(i) '列区间型正向化处理完成'] ) disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~') else disp('没有这种类型的指标，请检查Type向量中是否有除了1、2、3之外的其他值') end end

Mid2Max函数定义的代码:

注意:自定义的函数要单独放在一个m文件中，不可以直接放在主函数里面（和其他大多数语言不同） function [posit_x] = Mid2Max(x,best) M = max(abs(x-best)); posit_x = 1 - abs(x-best) / M; end

Min2Max函数定义的代码:

注意:自定义的函数要单独放在一个m文件中，不可以直接放在主函数里面（和其他大多数语言不同） function [posit_x] = Min2Max(x) posit_x = max(x) - x; %posit_x = 1 ./ x;   %如果x全部都大于0，也可以这样正向化 end

Inter2Max函数定义的代码:

注意:自定义的函数要单独放在一个m文件中，不可以直接放在主函数里面（和其他大多数语言不同） function [posit_x] = Inter2Max(x,a,b) r_x = size(x,1); % row of x M = max([a-min(x),max(x)-b]); posit_x = zeros(r_x,1); %zeros函数用法: zeros(3) zeros(3,1) ones(3) % 初始化posit_x全为0 初始化的目的是节省处理时间 for i = 1: r_x if x(i) < a posit_x(i) = 1-(a-x(i))/M; elseif x(i) > b posit_x(i) = 1-(x(i)-b)/M; else posit_x(i) = 1; end end end

MATLAB求解的过程展示

将MATLAB所求得的结果整理至Excel表格中：

  MATLAB的运算结果（河流排名）汇总

排名从高往低排序，可以看出得分最高的为K河流，得分最低的为N河流

表2 河流的水质得分排名情况

河流	含氧量（ppm)	PH值	细菌总数(个/mL)	植物性营养物量（ppm)	得分
K	7.93	7.53	9	6.52	0.070
J	6.19	7.27	17	7.51	0.068
I	5.45	7.62	5	18.46	0.068
L	4.4	7.28	17	25.3	0.059
T	7.44	6.26	8	28.41	0.056
G	7.69	6.79	38	6.01	0.054
O	2.04	6.4	23	17.91	0.053
M	7.46	8.24	23	14.42	0.053
H	9.3	6.81	27	31.57	0.051
D	8.61	7.05	46	26.43	0.049
C	9.11	6.31	46	8.91	0.048
B	2.03	7.86	19	6.46	0.048
Q	6.35	7.58	25	29.46	0.047
A	4.69	6.59	51	11.94	0.045
F	2.39	6.77	38	24.62	0.045
R	8.29	8.41	39	12.02	0.044
P	7.73	6.14	52	15.72	0.043
E	7.13	6.5	50	23.57	0.043
S	3.54	7.27	54	3.16	0.036
N	2.01	5.55	47	26.31	0.019

不同河流的得分可视化：

图2 河流的得分可视化

 好啦！TOPSIS算法的案例演示就到此结束啦，感谢您的观看。

参考文献：

[1]菅毅,周金星,万龙,陈容,张梅,刘发万,丁玉雄.基于TOPSIS方法的喀斯特断陷盆地区番茄地下灌溉技术节水效益综合评价[J/OL].节水灌溉:1-13[2022-02-07].http://kns.cnki.net/kcms/detail/42.1420.TV.20220105.1358.002.htm.

[2]于小芹,马云瑞,余静.基于熵权TOPSIS模型的山东省海岸带生态修复政策效果评价研究[J].海洋环境科学,2022,41(01):74-79.DOI:10.13634/j.cnki.mes.2022.01.020.

[3]阳斌成,张家其,罗伟聪,喻兴洁,张兴苗.基于TOPSIS及耦合协调度的湖南省2009-2018年水资源承载力综合评价[J].水土保持通报,2021,41(05):357-364.DOI:10.13961/j.cnki.stbctb.2021.05.045.

[4]崔世华,于婧,陈艳红,韩晨晓.基于熵权TOPSIS的湖北省城市人居环境质量时空分异研究[J/OL].华中师范大学学报(自然科学版):1-11[2022-02-07].http://kns.cnki.net/kcms/detail/42.1178.n.20210830.1754.002.html.

[5]沈国辉,陈光,赵宇,李晓光,耿爱国,袁浩,刘方.基于双目标分层优化和TOPSIS排序的电动汽车有序充电策略[J].电力系统保护与控制,2021,49(11):115-123.DOI:10.19783/j.cnki.pspc.200955.