点电荷的电场有什么特点？点电荷电场说明

点电荷 or point charge 这个概念是指自身带电、但体积可忽略为一个点的电荷。如下图所示，带正电的点电荷 +Q 周围的电场呈发散状，电场线向外指；带负电的点电荷 -Q 周围的电场是聚敛的，电场线方向指向负电荷。

电场线有几个特点：
1) 上图中的电场线分别是由中心的正电荷 +Q 和负电荷 -Q 创造的。如果把这两个电荷拿走，电场线就消失了。

2) 电场线越密的地方，说明电场越强，越疏松的地方，说明电场越弱。上图中，靠近正电荷或负电荷的地方，电场线密集，电场就强。越远离中心，电场线越稀疏，电场强度就越弱。

3) 电场线的方向是放入电场的正电荷 +q 的受力方向。这一点同学们最容易混淆。需要强调的是，这里放入电场的正电荷 +q 与创造电场的电荷 +Q 与-Q不一样。我们一般把 +q 也叫作试探电荷 or test charge，它是用来试探试探这个电场的。如果原本的电场方向向右，那么这个 +q 的受力方向就向右；如果原本的电场方向向上，那么它就受到向上的电场力。反之亦然，如果这个 +q 的受力方向向左，那么说明此点电场方向就向左；受力方向向下，那么此处电场方向也朝下。关于电场与电场力我们有如下公式：

上述公式中的 q 即为试探电荷，F 为试探电荷在电场中所受到的电场力，通过受力 F 和试探电荷本身的电量 q 即可求出电场的大小 E。

那么如何分析电场方向呢？
(a) 如果试探电荷 q > 0，带正电，那么根据上面的公式，E 与 F 就同向，即带正电的试探电荷的受力方向就是电场方向；
(b) 如果试探电荷 q < 0，带负电，那么说明上面公式中的 E 与 F 反向，即带负电的试探电荷的受力方向 is opposite to 电场方向。

4) 电场线总是从正电荷发出，到负电荷终止。下图为一对儿电荷周围的电场情况，你可以看到，电场线的起点总是正电荷，而箭头最终总是指向负电荷。

讲完电场和点电荷的基本知识，下面我们来做一个点电荷周围电场大小的简单推导吧:

如上图，我们先把一个带电量为 +Q 的电荷放入左侧，之所以画得很大，是因为它是 source charge，产生电场的源头，一般它也是固定不动的。然后在它的右侧，我们放入一个小的带电量为 +q 的 test charge。这个 +q 不幸进入了 +Q 的电场范围 (地盘儿)，于是会受到右偏上的电场力 F。

为什么非要把 test charge 画得那么小？因为我们知道每个带电物体周围都是有电场的，test charge 也不例外。如果它的带电量大，那么自身所产生的电场就大，这样的话会影响到 +Q 原有的电场，使问题复杂化。所以为了不影响我们的老大哥 +Q ，小弟 +q 只好委屈一下自己，一般带电量会非常非常的小，远小于 +Q。毕竟，+Q 才是主角，是电场的创造者嘛！

根据点电荷间的库伦定律，我们知道这个 +q 的受力大小是：

其中 r 为两个电荷之间的距离，k 为库伦常数：

当然，根据牛顿第三定律，作用力等于反作用力，Q 给 q 一个排斥力(repulsive force)，q 也会反过来给 Q 一个排斥力。只不过我们一般认为 Q 是老大哥嘛，稳坐钓鱼台，它是固定住不动的，所以一般很少分析它的受力情况。

前面我们有说过空间中任意一点的电场 E 的大小等于试探电荷的受力 F 除以上它本身的带电量 q，即 E = F / q。那么可将库伦定律中的 F 代入此式得：

上面这个公式在IB的公式表里是没有的，但它很重要，所以我建议你背下来，或者至少要会推导。这个公式告诉我们点电荷 +Q 在它周围任何一点所产生的电场大小，本质上只与它本身的带电量 Q，以及距离它有多远 r 有关。电量 Q 越大，那么它周围产生的电场自然越大；距离 Q 点越近的地方， r 越小，那么 E 就大。从下图中的电场线也能看出来嘛，离中心点电荷越近的地方，电场线越密，电场就大；越远的地方，电场线发散了，变松散了，那么电场就小。

好，知识就讲到这儿，你听懂了吗? 听懂了也没啥用哈，会做题才是真英雄！下面的题，自己先尝试做一做，实在不会再看解答。

Example: As shown in the diagram below, three point charges locate at the three points of the equilateral triangle. The charge on the top is positive, and two bottom charges are negative. The side length of the triangle is 0.10 m, and the magnitude of the charge q = 2.0 nC. What is the resultant electric field at the center O point of the equilateral triangle?

解答: 首先要注意电场是矢量，所以这道题问的不仅仅是电场大小，还有电场的方向。方向比较容易判断，我们就先解决 O 点合电场的方向。由于这三个点电荷的电荷量相等，离 O 点的距离也都一样，所以根据：

这三个点电荷在 O 的电场大小都一样，所画箭头的长度就要一样长。我们分别画出它们在 O 点的方向，如下图：

由于负电荷所产生的电场指向它本身，所以标号为 1 的负电荷产生的电场 E1 指向它自己，同理，标号为 2 的负电荷所产生的电场 E2 也指向它自己。标号为 3 的是正电荷，我们刚才讲过正电荷的电场线是发散的，所以它在 O 点的电场 E3 应该指离它自己，如上图是竖直向下的。

现在有了三个电场的方向，下面要求它们的和了。“电场” 和 “力” 很像，都是矢量，力怎么求和，电场就怎么求和。我们一步一步来，用平行四边形法则先求出 E1 和 E2 的和，表示为 E4 ，如下图所示，E4 方向是竖直向下的。然后再将 E3 与 E4 求和，由于它俩方向都向下，求和就是长度相加，最终表示为 Etotal：

合电场的方向我们搞定啦！Downward！下面计算大小，说白了就是算箭头长度呗。还是不要一口吃个胖子，我们一点一点来。先写出一个点电荷的场强公式：

这里要注意上面公式中的大 Q 和题目给的小 q 好像不相符。这里不要死记硬背，你需要理解的是这个公式中的 Q 指的是产生电场的电荷所具有的电量，是 source charge。题目中给的虽然是 q，但 O 点的电场确实是它们产生的，所以 q 就是 source charge，可以当做 Q 用，直接代入到上述公式之中。

上面公式中的 k 是常数，Q 也有了，Q = q = 2 nC (这里注意是 “nC” 哦，"n" 是 nano，十的负九次方)，但上式中的 r (每个点电荷到中心 O 点的距离) 还不知道。已知等边三角形的边长是 0.1 m，求 r 需要用到一些几何关系:

由上图，三角形 AOB 中，我们有了 OAB 这个角是 30 度，又关心它的邻边和斜边，所以有：

有了 r 就可以求出每个点电荷在 O 的电场大小啦：

那合电场 Etotal 怎么算嘞 ？我们先把刚才的电场合成的图拿过来看一看：

仔细观察不难发现，其实三角形 COD 是等边三角形，ODF 同样是等边三角形，因为如果你导角的话，会发现这两个三角形的所有内角都是 60 度！牛！！如果是等边三角形那就容易多了，轻松得到 E4 = E1 = 5350 N/C！那总的电场强度 Etotal = E3 + E4 = 5350 N/C + 5350 N/C = 10700 N/C。

这道题虽然计算复杂，也涉及到几何中的三角函数及导角的推理，但你的整体思路应该是十分清晰的：
(1) 画出每个点电荷的电场矢量(箭头)；
(2) 通过平行四边形定则进行矢量合成，画出合电场方向；
(3) 通过点电荷的电场公式算出每个点电荷在 O 点的电场强度；
(4) 根据几何关系进行边长的运算，求出合电场的大小。