第 1 题.设 a0 < a1 < a2 < · · · 是一个无穷正整数列. 证明: 存在惟一的整数 n ≥ 1使得
第 2 题.设 n≥2 是一个整数. 考虑由 n2 个单位正方形组成的一个 n x n 棋盘. 一种放置 n 个棋子“车”的方案被称为是 和平的, 如果每一行和每一列上都恰好有一个“车”. 求最大的正整数 k, 使得对于任何一种和平放置 n 个“车”的方案, 都存在一个 k × k 的正方形, 它的 k2 个单位正方形里都没有“车”.
第 3 题.在凸四边形 ABCD 中∠ABC = ∠CDA = 90◦. 点 H 是 A 向 BD 引的垂线的垂足. 点 S 和点 T 分别在边 AB 和边 AD 上, 使得 H 在三角形 SCT 内部, 且
证明: 直线 BD 和三角形 TSH 的外接圆相切.
第 4 题.点 P 和 Q 在锐角三角形 ABC 的边 BC 上, 满足 ∠P AB = ∠BCA 且∠CAQ = ∠ABC. 点 M 和 N 分别在直线AP和 AQ 上, 使得 P 是 AM 的中点,且 Q 是 AN 的中点. 证明: 直线 BM 和 CN 的交点在三角形 ABC 的外接圆上.
第 5 题.对每一个正整数 n, 开普敦银行都发行面值为1/n的硬币. 给定总额不超过99 +1/2的有限多个这样的硬币 (面值不必两两不同) , 证明可以把它们分为至多 100组, 使得每一组中硬币的面值之和最多是 1.
第 6 题.平平平面上的一族直线被称为是 处于一般位置 的, 如果其中没有两条直线平行, 没有三条直线共点. 一族处于一般位置的直线把平面分割成若干区域, 我们把其中面积有限的区域称为这族直线的 有限区域. 证明: 对于充分大的n 和任意处于一般位置的 n 条直线, 我们都可以把其中至少 √n 条直线染成蓝色, 使得每一个有限区域的边界都不全是蓝色的.
注: 如果你的答卷上证明的是 c√n(而不是 √n) 的情形, 那么将会根据常数 c 的值给分.
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