在本月的每月一讲栏目中，我们将以一个新的视角，从所谓的 Fibonacci（斐波那契）数列开始，明确线性递推数列的通项公式的求法，以及高观点下的特征方程、特征值的意义。以下所有值均在复数范围内讨论。
(p.s.矩阵部分内容阅读与理解有困难的同学可以跳过Part2进入后面的内容~）
01·Fibonacci数列
首先，Fibonacci数列是一列不断增加的正整数列，满足
Fibonacci列具有丰富的性质，它有一些重要的identities如，d'Ocagne's Identity:
在数论和组合学中的树结构、生成函数等方面它也有一些应用。
Fibonacci列的通项公式求法在数学上被称为特征方程法，而此方程在多数教科书中总是不加解释地使用：
由此方法得到的通项公式虽然正确（可以由Induction证明），但很难给高中生合理的解释：为什么要用此特征方程、特征根？又是怎样想到这样的名词和方法呢？
下面，我们先给出k-阶线性递推的定义和通项求法，再进一步解释此方法。
02·k-阶线性递推
首先我们给出k-阶线性递推的定义和通项求法：
证明：我们从矩阵的角度来看特征方程
上述的做法对不熟悉矩阵的读者极不友好，故我们再从更高更抽象但代数上更简单的角度回看 Fibonacci 数列，由此来更深入地理解 k-阶线性递推。
首先对于 Fibonacci 数列，我们要回一个很杠精的问题：
想回答这个问题，需要你对数列改变一些约定俗成的看法。数列虽然长得像一列数，但它本 质上妥妥地是个函数。
03·谱分解
说到这儿，一个合格的数学学习逻辑就是去研究解析延拓了，但我们决定就此打住，来看更有技术含量的内容：谱分解。为此，我们要先建立线性空间、特征向量的概念。如果你是一个新手，你大可以把他当做一个没有维数限制的欧氏空间。
下面，我们将亲手构造一个线性空间：
终于我们可以给一个平平无奇的定理
当然，我们还有一个平平无奇的定理
上面这两个定理的证明请参见任一泛函分析讲义。
接下来，我们需要知道左移算子L，它已经超越了“很好”，甚至可以用“无敌”来形容，它在V上的特征值和特征子空间长得十分规整，换句话说，你要问：什么数列是左移不变（等于没移）的？
答案只有一个：等比数列。
现在，你对Fibonacci数列是不是有更深刻的理解了呢~
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