由AMC12题目理解多项式根的分布与控制系统稳定性

2021年秋季AMC12B有这么一个题目：

这个题目解答方法甚多，既可以直接分离实部与虚部，利用三角运算得到答案，也可以利用复数性质，将问题转化为考察多项式是否存在模长为1的复数根，解答细节在这里就不再赘述。

多项式根的分布是AMC等竞赛的一个命题方向，通过韦达定理、介值定理、单调性分析、不等式估计等手段能在不直接求根的情况下得到根的大致分布，这些手段也是利用初等数学研究多项式根的分布的典型范例。

数学作为一门基础性学科，在工程领域得到了广泛应用，而控制理论则是一门与数学紧密结合的学科，历史上许多控制理论专家都有着深厚的数学功底，如控制论的先驱诺伯特·维纳（NorbertWiener，1894.11.26~1964.3.18）就是一名数学家。控制理论中的最优控制、鲁棒控制、反馈线性化等领域与数学中的变分法、线性矩阵不等式、微分几何、李代数都有着密不可分的关系，可以说数学为现代控制理论的发展奠定了扎实基础。

而多项式根的分布也并非是纯粹的数学问题，它对研究控制系统的稳定性有着重要意义，下面将介绍几个控制理论中与根的分布有关的结果，希望能起到抛砖引玉的作用，拓宽各位读者视野。

Routh判据：该方法主要用于判断多项式的根的实部是否均小于零，在线性连续控制系统中，如果系统的特征方程（某个实系数多项式）存在正实部的根，则系统不稳定，因此该定理通常用于研究连续控制系统的稳定性。

设为n次多项式（系数下标与常见写法相反），且首项系数a0为正，P(x)的零点均为负实部的充分必要条件是Routh表每一行首列系数均为正，其中Routh表的构造方法如下所示：

需要注意的是，Routh表从第3行开始，若相关位置对应的系数不存在则用0代替。

更进一步，特征方程中，实部为正数的根的个数等于Routh表的第一列元素符号改变的次数。由上可见，Routh表的定义简单，也适合编程实现，因此具有较强的实用价值。

下面给一个应用Routh判据的例子：

考察多项式的根是否都是负实部。

构造Routh表如下：

根据Routh判据，第一列符号改变两次，所以有两个正实部的根。

随着集成电路技术的发展，微控制器（MCU，microcontrol unit）,数字控制器（DSP，digitalsignalprocessor）等数字控制芯片广泛应用于各种控制系统，数字控制器的输出是离散化的（如DSP每50微秒改变一次输出，在这50微秒内的控制输出都是不变的），这个时候控制系统的特征方程仍为一个多项式，但是它的稳定性取决于该多项式的根的模长是否均小于1，这个时候则需要双线性变换将问题转换为Routh判据的形式。

设为n次多项式，若要判断它的根的是否均在复平面单位圆内，我们需要先作双线性变换，P(z)的根在单位圆内等价于关于w的多项式的根均为负实部。

此外，也可以采用Jury判据来判断多项式的根是否在单元圆内，Jury判据不需要作变量代换，计算过程与Routh判据有一定相似。

考察多项式，构造下述系数：

（1）

（2）

（3）

……

如此下去，直到只有三个系数为止。不妨设最后一行为：，这里用q来表示变量并不代表从字母a算到了字母q，那么多项式P(z)的根均在单位圆内的充分必要条件为下述条件均成立：

(1)

(2)

(3)

利用Jury判据，可以解决前文提到的AMC多项问题。

首先P(-1)=-2, P(0)=1，故P(z)在区间(-1,0)上有一个实数根。另一方面，利用Jury判据可知多项式有模长大于1的根，这表明P(z)即使存在一对共轭虚数根，那么它的模长是大于1的，所以题目答案为0。

上述提到的Routh判据、Jury判据虽然能够准确判断某个多项式是否有正实部根或根是否在单位圆内，但对于阶数特别高的多项式（如基于内模原理的重复控制系统，特征方程往往是一个高次的多项式，可达到40次甚至更高），这个并不容易判断，也不利于工程应用过程的控制参数设计。基于此，我们往往采用极大模原理来解决相关问题，极大模原理得到的是充分条件，而之前的定理得到的则是充分必要条件。

极大模原理：如果单变量复变函是一个全纯函数，那么它的模的局部最大值不可能在其定义域的内部取到。

极大模原理的证明需要复分析的知识，但是对于某些简单的多项式，我们可以用初等的方法得到相关结果，如2015年的中国西部数学邀请赛的第七题就有极大模原理的背景，题目如下：

关于多项式根的分布，还有其它处理手段，不过在AMC等竞赛中一般也就采用韦达定理、不等式估计等初等手法，至于本文的几个定理，大多数场合应该用不上，但可以作为一个备用选择。