这道题是英国物理奥赛(BPhO)第二部分试卷中第三题的 (c) 题，从物理的原理的角度看，题目难度适中，但对数学计算的要求非常高，从而提升了整个题的难度。BPhO 还是比较看重学生解决物理问题时的数学思维能力，
c) [8 marks] The bucket of mass m is drawn up by the winch cable which exerts a steady froce F upwards, shown in Figure 3. The bucket starts from rest and initially contains a mass m0 of sand. The sand leaks out at a constant rate so that the bucket is empty after time t, which occurs before it reaches the top of the dry dock wall.
In terms of F, m0, m, t and g (the gravitational field strength), what is the velocity v of the bucket when it is just empty? The friction brakes do no slip.
答案解析：
这道题的难点在于沙子一直在漏，如果沙子不漏，那么桶只受向下的桶和沙子的重力、还有绳子向上的拉力，向上的合外力将保持恒定，会向上做匀加速直线运动。
现在沙子在漏，那么沙子的自重不断减少，题中又告诉了绳向上的拉力 F 保持恒定，所以这种情况下，向上的合外力不断增加、同时桶和沙子的总质量又不断减少，那么加速度是会不断增加的，这是个 “变加速运动”。
要想解决 “变加速运动” 就要用到微积分了，核心在于列出任意时刻 t' 时，桶的加速度 a 随时间 t’ 的方程，再将 a 变形为 dv / dt’，继而通过等式两边积分的方法来算出末速度 v。这里注意我们的时间变量是 t’、而不是 t，因为题目已知给出 t 作为整个运动的总时间了，t 在本题中是个常数、而不是变量。
首先，总共经过时间 t 后，桶里一开始质量为 m0 的沙子漏干净了，所以桶中沙子的质量随时间的减少速率就是：
由此推得桶中沙子的质量随时间 t' 的变化就是：
那么桶中沙子的重力只需在此基础上乘以重力加速度 g：
有了沙子重力随时间的表达式，就可以求合力了。如下图，这桶沙子在上升过程中受到桶的重力 mg、沙子的重力 Fg 和绳子恒定不变的拉力 F：
在上升中的合力就是：
再根据牛顿第二定律，可求出加速度 a 随时间 t’ 的表达式。但要注意不只合力随时间发生变化，由于沙子一直在漏，桶和沙子的总质量随时间也在不断减少，所以再列个总质量 m' 随时间 t' 的变化：
上式中 m 代表桶的质量，固定不变；其右侧的表达式为沙子质量随时间 t’ 的变化关系，在前面已经推出来了。
有了合外力 Fnet 和总质量 m’ ，加速度就有：
写到这里，物理原理的部分就基本推导完毕，下面要靠微积分的计算能力了！为了求末速度 v，我们要先将加速度 a 变形为 dv / dt’，再通过等式两边积分来计算：
注意上式中 v 的积分下限是初速度 0、上限是末速度 v；时间 t’ 的积分下限是 0，上限是整个运动的总时间 t。再次强调，t 是常数，而 t’ 才是变量。积分过程中也要用到题目中给的积分公式：
将被积函数求反导、并计算就有：
即为本题答案。
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