2018年英国物理奥赛BPhO Section2 Question3d题解析

这次我们来到2018年英国物理奥赛(BPhO) 第二部分第三大题的 (d) 问，按照英国奥赛惯例，(d) 问中又包括几个小问，接题吧：
d) The behaviour of the boxing training ball shown in Figure 2 can be modelled as two identical vertical springs attached to a mass, m. The springs each have a natural length l, and a spring constant k, such that an applied force of mg doubles the length of spring to 2l. The top and bottom springs attached to the ceiling and floor respectively in a room of height 4l.
Assume the radius of the ball,.

(i) Determine the equilibrium position of the ball below the ceiling in terms of l.
(ii) The ball is given a small vertical displacement and released. Find an expression for the period Tv for the vertical oscillations.
(iii) The ball is given a small horizontal displacement. Using a suitable approximation provide an expression for the horizontal force Fh exerted on the ball by the springs.
(iv) Find an expression for the period of the horizontal oscillations Th and evaluate the ratio Th/Tv .
(Image credit: Kangrui Sports http://kangruisport.com/sport/punchingbags)

答案解析：
(i) 问考查的是力的平衡，题中说了球的半径 r 远小于弹性绳的长度 l，所以可以把球看作一个质点，被上下两个弹性绳绷在中间：

如上图所示，小球处于平衡位置时，上方弹性绳由原长 l 伸长到 l1， l1 即为此题所求；下方弹性绳由原长 l 伸长到 l2。题目中告诉我们房间高度是 4l，所以有 l1 + l2 = 4l。
再对中间的小球进行受力分析，它受到自身的重力，和两个弹性绳的拉力，列力的平衡表达式：

根据胡克定律 F=kx 将上式中的 F1 和 F2 分别展开：

由于题中已知大小为 mg 的力可将弹性绳从原长 l 伸长到 2l，即伸长量为 2l - l = l，那么根据胡克定律可求出 k ：

将 k 代入上面 F1 和 F2 的表达式就有：

再代入上述力的平衡表达式 F1 = mg + F2：

又因为两个弹性绳的长就是房间的高，即 l1 + l2 = 4l，所以 l2 = 4l - l1 ，代入上式消去 l2，即可求出 l1 与原长 l 的关系：

(ii) 小问说小球在竖直方向上下振动，求振动周期 Tv 。
一说弹簧或弹性绳的振动周期，马上要想到简谐运动振动周期的主流求法，利用 BPhO 公式表中的公式：

根据上式，如果能推出物体的加速度 a 与偏离平衡位置的位移 x 的关系，就能算出角速度 ω。有了 ω，根据公式 T = 2π / ω 就可求出周期 T。加速度 a 又和合外力 F 通过牛顿第二定律 F = ma 紧密相连，所以我们先找合外力 F 和偏离平衡位置位移 x 的关系：

上左图是小球处于平衡位置 O 点的情况，两个弹性绳被拉伸时的长度 l1 、l2 与弹性绳原长 l 的关系我们在上一问中已经求出，标在图上，平衡位置处小球的合外力为零。
上右图是把小球拉离平衡位置 O 点，假设向上拉一个位移 x。这时两根弹性绳的长度都变了，上方弹性绳缩短 x，下方弹性绳拉长 x，也标在图中。由于小球向上偏离平衡位置，合外力大小不为零、且力的方向向下，对合外力大小 F 进行展开：

代入上一问中求出的 k = mg / l ，继续化简、找到 F 和 x 的关系：

由于 F = ma，所以加速度 a 和位移 x 的关系就迎刃而解：

再根据BPhO竞赛公式表提供的即可求出角速度 ω。注意这个公式中有个负号，负号的含义是加速度方向总与位移方向相反，以上推导我们只涉及大小、没涉及到方向，所以用的时候可忽略负号：

有了 ω 的表达式，周期 Tv 就出来了：

(iii) 小问难度最大，也符合打拳击时的真实情景，这里给小球一个很小的水平位移 (small horizontal displacement)。题中描述位移时用的 "small" 很重要，因为解题时会涉及到数学中的近似 (approximation)。我们还是先通过作图来分析问题、比较直观：

如上图，给一个水平向右的位移 x，求小球在水平方向所受合外力 Fh 的表达式。题中的水平位移 x 实际上很小很小，但为了方便看清，我在图中把 x 画得大一些、夸张点儿。两个弹性绳的长度也由 l1 、l2 变为了图中的 l1’ 、l2’ 。位移 x 上下分别对应两个直角三角形，我们设所对的角分别为 α 和 β，如右上图所示。由于位移 x 很小，所以角 α 和 β 也非常非常小。
下面直入主题，分析小球在水平方向的受力，一共两个力，分别是 F1 和 F2 向左的水平分力，列表达式求水平合力：

尽量把上式展开，根据图中的几何关系：

根据胡克定律把 F1 和 F2 也展开：
将上述表达式通通带入水平合力公式并化简：

以上公式中的 l1’ 和 l2’ 还需要用 I 来表示，这就要用到向右位移 x 很小来作近似、简化问题了。当 x 非常非常小时，我们可以近似认为上图中两根弹性绳的绳长没有发生变化，所以：

代入到水平合力 Fh 的表达式中即为本题答案：

注：如果再严谨一些，考虑到方向，那么 Fh 和 x 方向相反，要加个负号，最终表达式就是：

(iv)有了前三问作铺垫，此问简单多了。在上一问中我们找到了Fh 和 x 的关系，那么加速度 a 和位移 x 的关系式就有了：

加速度 a 和位移 x 成正比、方向相反，满足简谐运动的条件，可用公式表中关于简谐运动的表达式。求出角速度 ω 以后，再求周期 T，思路和第二小问是一样的：

第二小问中已经求出了竖直方向振动的周期 Tv，两者一比就是答案：
整体来看，本题 (ii)、(iii) 小问难，需要先推导出 F 和 x 的关系，进而求出角速度 ω 和周期 T。尤其是第 (iii) 小问，受力分析和长度的近似处理更难想到，这也是英国物理奥赛中的精髓所在。