2018May IB物理SL paper 2 第5题解析

这是一道 standard level (SL) 关于水力发电的大题，争取自己做出来，实在不会再看答案解析：
In a pump storage hydroelectric system, water is stored in a dam of depth 34 m.

The water leaving the upper lake descends a vertical distance of 110 m and turns the turbine of a generator before exiting into the lower lake.

Water flows out of the upper lake at a rate ofper minute. The density of water is.

a.i. [2 marks] Estimate the specific energy of water in this storage system, giving an appropriate unit for your answer.

a.ii. [3 marks] Show that the average rate at which the graviational potential energy of the water decreases is 2.5 GW.

a.iii. [1 mark] The storage system produces 1.8 GW of electrical power. Determine the overall efficiency of the storage system.

b. [1 mark] After the upper lake is emptied it must be refilled with water from the lower lake and this requires energy. Suggest how the operators of this storage system can still make a profit.

答案解析：
a.i. 这道题考的是 specific energy，即比能量，它的定义是单位质量的燃料能产生的能量，有公式:

其中 Es 即为比能量，specific energy，它本身不是能量，而是燃料产生的能量 Q 除以燃料自身的质量，比能量的单位是 J / kg。燃料的比能量越大，我们从中能提取的能量就越多，多多益善。
这道题问 upper lake 中水的比能量，我们先求出水的能量，再除以其质量就ok了。水坝发电中水的能量是以重力势能 Ep 的形式体现，所以：

式中 h 为upper lake 中的水距离 lower lake 的高度，由于 upper lake 高 34 m，各层水面的高度不一样，我们可取一个中间值，即 34m / 2 = 17 m，再加上水坝高度 110 m，推出 h = 17 m + 110 m = 127 m。
上式中的 g 为重力加速度，是常数；质量 m 则不需要求出，因为比能量要除以 m，就削掉了：

由于已知是两位有效数字，所以结果我们也要约成两位有效数字。

a.ii. 该小问 3 分，是这道题的主要得分点，难度较大，让你证明重力势能下降的平均速率(average rate) 是 2.5 GW。一提到 rate，你应该能反映出来要除以时间 t，能量除以时间 t 是功率，所以最后单位是 W。而 "GW" 中的前缀 G 的含义是。
下面直接列出重力势能减少速率的表达式，直观看一下：

上式中 g 是常数，可以从 "Δ" 符号中提出；随着水慢慢从上游流到下游，水面高度 h 是不断降低的，但这道题求的是平均速率，所以我们还是可以用上一小问中的平均高度 h = 127 m，把高度也当为常数提出 "Δ" 以外：

g, h 两个物理量都搞定了，下面分析，即单位时间流过涡轮机的水的质量。一个关键已知是一分钟流下来体积的水，那么我们可以很简单地认为上式中的一段时间 就是一分钟，即 60 秒，在这段时间里流过涡轮机的水的体积 V 有了，又已知那么水的密度 ρ，质量 m = ρV，有：

重力势能下降 rate 也迎刃而解：

a.iii.理想情况下，重力势能减少的功率最终都转化成了发电功率，所以上一问中算出来的 2.5 GW，在没有能量损失的情况下，即是发电功率。但现实生活中怎么可能没有能量损失呢？
题目中告诉我们实际发电功率是 1.8 GW，那么使用能量效率公式：

b. 这道题问的是 pump storage system 的特点，按理说上游 2.5 GW 的水的功率，只能产生 1.8 GW 的电功率，能量转化过程有能量损失。如果再用这 1.8 GW 的电功率反过来把下游的水抽到上游，又有能量损失，可能比初始的水量少很多，不划算。既然一开始已经把水的重力势能转化为了电能，何必再兜一圈，把电能又转化回水的重力势能呢？
这是因为一年中电能的价格不是固定的，在用电低谷期，电能充足、电费便宜，这时大坝可以买一些便宜的电，用电推动水泵把电能转化成水的重力势能储存起来；用电高峰期时，电能吃紧、电费贵，这时就可以把储存在高位的水释放、转化为电能，卖个好价钱，从中获利。
由于这题只有一份，英文解答很简单：Water is pumped back up at times when price of electricity is low.