Question 2 是英国物理奥赛 Section 2 试卷的一道大题，这道大题又分为 6 个小问，今天来做一下其中的 a), b) 小问。Section 2 试卷一般有大约五道大题，每道题的主题不一样，这道大题的主题是：天体运动。答题者只需在五道大题中选择两道自己比较熟悉的知识主题来解答。每道大题满分 25 分，两道题就是 50 分。
对于 Section 2 中的每道大题来说，其中的每一个小问也没什么相关度，就是说即使 a), b) 问都不会做，也不会影响到做 c) 问，这有助于答题者尽可能多地答题、得分。本题的 a), b) 小问并不难，很典型、很常规，涉及到了圆周运动中万有引力和向心力的知识点，我们知道万有引力的表达式是：
其中 F 为两物体间的万有引力，M 和 m 是两物体各自的质量，r 是两物体质心之间的距离，G 是万有引力常数。
向心力的表达式为：
其中 F 为物体做圆周运动所需向心力，m 为物体质量，r 是圆周运动的半径，v 是圆周运动的线速度，ω 代表圆周运动的角速度。当涉及到周期 T 时，因为角速度 ω = 2π / Τ，所以向心力表达式又有：
争取自己做出来这道题
a) A planet has a radius R and the gravitational field strength at its surface is g. A satellite is placed in a circular orbit of radius r around the planet.
Obtain an expression for T, the period of orbit of the satellite, in terms of R, g and r, explaining the relevant physics in each of your steps.
b) Both the Earth and Jupiter can be assumed to have circular orbits about the Sun. Jupiter has an orbital period, TJupiter = 11.9 years. What is the orbital radius of Jupiter in au?
Note: an au (astronomical unit) is the average distance between the Earth and the Sun.
(4)
答案解析：
如上图所示，a) 小问已知行星 (planet) 半径 R、行星表面重力加速度 g、以及卫星 (satellite) 的环绕半径 r，求卫星的环绕周期 T 与这三个量的关系。我们进一步假设行星和卫星的质量分别为 M、m，标在上图中。
既然卫星围绕行星做圆周运动，那么卫星所受万有引力 FG 就等于它做圆周运动所需的向心力 Fc，这是个很典型的等式。又因为要求周期 T，所以向心力的表达式用周期 T 展开如下：
仔细观察上述 (1) 式不难发现，由于 π 和 G 都是常数，那么对于同一个行星、即行星质量 M 不变，卫星环绕周期 T 的平方和卫星的环绕半径 r 成正比，这也是开普勒第三定律 (Kepler's Third Law)。这个定律同样适应于太阳系，绕太阳做圆周运动的诸多卫星中，环绕半径 r 越大（比如冥王星、海王星），其环绕周期 T 也就越长。
但公式中的常数 G 和 M 题目中没有给，给的是 g 和 R，需要找到四个物理量的关系。如上图，一个人在行星表面的重力 mg 近似等于行星中心给他的万有引力，行星中心和人之间的距离即为行星半径 R，列式并化简：
将结果代入到 (1) 式中，即可求出环绕周期 T 的表达式：
b) 小问说木星 (Jupiter) 环绕太阳的周期是 11.9 年，地球的环绕周期我们默认 1 年，又知道了地球到太阳的距离是 1 au，要求木星到太阳的距离是几个au？这题很典型，已知周期 T 的关系，求环绕半径 r 的关系，就要用到上一问推导出来的开普勒第三定律。根据上一问的 (1) 式不难导出，如果太阳质量不变，即 M 不变，有：
即对于所有环绕太阳的卫星来说，它们环绕周期 T 的平方与环绕半径 r 的立方的比值是恒定的，对于同时环绕太阳的地球和木星来说就有：
即为 (b) 小问答案。
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