2019年英国物理奥赛BPhO Sect.1 (e) 题解析

今天为大家带来的是一道关于电阻并联和电阻率的题，物理原理并不难，难度还是在数学计算上。如何在规定时间内，又快又准地把题目算对，是BPhO对每个参赛学生的考验。下面接题吧：

e) Figure 1 shows the cross section of a high voltage overhead electrical transimission cable. The central strand is of steel and the six outer strands are of aluminium. The resistivity of steel is, and that of aluminium. The cross-sectional area of each strand is. The steel is present to give mechanical strength to the cable and only reduces the resistance of a length l of cable bywhen it is included. Calculate the length of the cable. [5 marks]

答案解析：

题目告诉我们输电线是由 6 条铝线和中间 1 条铁线组成的，铁线是为了加固输电线的硬度。铁线的存在会使长度为 l 的输电线电阻减少。又告诉了铝和铁的电阻率 (resistivity) 和电线横截面积 (cross-sectional area)，让求输电线的长度 l。

本题首先需要明确的一点是，这 6 条铝线和 1 条铁线是并联关系，所以它们的总电阻符合如下并联公式：

既然涉及到电阻和电阻率，就要用到它们之间的关系式：

式中 R 为电阻 (resistance)，ρ 是电阻率 (resistivity)，L 代表电阻的长度 (length)，A 代表电阻的横截面积 (cross-sectional area)。

加入铁线以后，会使整个电线的电阻减少，我们接下来以这个已知为突破口，先算出没有铁线、和有铁线两种情况下的阻值，再将两者相减。
没有铁线时，是 6 条铝线并联，其中每一条铝线的阻值是：

那么 6 条铝线的总电阻 R 是：

式中铝的电阻率 ρAl 和每根电线的横截面积 A 均为已知，但我们也不着急代数计算，可以先表示成物理量的关系式放在这里、比较好看。
中间加入铁线以后，就是在上式的基础上再并联一个铁线的电阻。先给出铁线电阻的表达式：

式中的铁线长度 l 和横截面积 A 均和铝线的相同，铁线电阻率 ρFe 为已知。

所以加入铁线后，总电阻 R' 为：

现在我们有了 R 和 R’ 的表达式，题目中又已知两者差值为，所以可列等式、代数运算后即为本题答案：

可见，最后这几步公式推导、代数运算对数学计算能力要求高。其实如果在前面求铝线和铁线各自的电阻时就早点儿代数运算，反而计算过程会简单一些。