第 1 题.我们称平面上一个有限点集S是平衡的, 如果对S中任意两个不同的点A, B, 都存在S中一点C, 满足AC=BC. 我们称S是无中心的, 如果对S中任意三个不同的点A, B, C, 都不存在S中一点P, 满足PA=PB=PC.
证明: 对每个整数n> 3, 均存在一个由n个点构成的平衡点集.
确定所有的整数n> 3, 使得存在一个由n个点构成的平衡且无中心的点集.
第 2 题.确定所有三元正整数组(a,b,c), 使得
ab−c,bc−a,ca−b
中的每个数都是2的方幂.(2的方幂是指形如2n的整数, 其中n是一个非负整数.)
第 3 题.在锐角三角形ABC中,AB > AC. 设Γ是它的外接圆,H是它的垂心,F是由顶点A处所引高的垂足.M是边BC的中点.Q是Γ上一点, 使得∠HQA= 90◦,K是Γ上一点, 使得∠HKQ= 90◦. 已知点A, B, C, K, Q互不相同, 且按此顺序排列在Γ上.
证明: 三角形KQH的外接圆和三角形FKM的外接圆相切.
第 4 题.在三角形ABC中, Ω是其外接圆,O是其外心. 以A为圆心的一个圆Γ与线段BC交于两点D和E, 使得点B, D, E, C互不相同, 并且按此顺序排列在直线BC上. 设F和G是Γ和Ω的两个交点, 并且使得点A,F,B,C,G按此顺序排列在Ω上. 设K是三角形BDF的外接圆和线段AB的另一个交点. 设L是三角形CGE的外接圆和线段CA的另一个交点.
假设直线FK和GL不相同, 且相交于点X. 证明:X在直线AO上.
第 5 题.设R是全体实数的集合. 求所有的函数f: R → R, 满足对任意实数x, y, 都有
f(x+f(x+y)) +f(xy) =x+f(x+y) +yf(x).
第 6 题.整数序列a1,a2,· · · 满足下列条件:
- 对每个整数j> 1, 有1 时aj时 2015;
- 对任意整数1时k<ℓ, 有k+ak≠ℓ+aℓ.
证明: 存在两个正整数b和N, 使得
对所有满足n > m>N的整数m和n均成立.
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