2022年中国台湾数学奥林匹克的试题

今天先给大家推送2022年中国台湾数学奥林匹克的试题。

1. 设正整数，，满足．若， ， ，
   且，
   求证：为完全平方数．
2. 本题选自2021年IMO预选题，将于2022年IMO举办之后公开
3. 求所有函数，：，满足对任意实数，，，，都有
4. 两个婴儿和用瓶牛奶进行一个游戏．每个奶瓶的最大容量为，最初每个奶瓶中装有的牛奶．从开始，两人轮流执行以下操作之一：
   (1)选择一瓶至少的牛奶，喝掉一半；
   (2)选择两瓶少于的牛奶，将其中一瓶中的牛奶倒入另一个奶瓶中，并将空瓶丢掉．
   无法进行任何操作者输掉游戏．问：谁有必胜策略？
   （命题人注：本题的另一个版本是，最初有个奶瓶中装有的牛奶，另外个奶瓶中装有的牛奶．两个问题的解决方案截然不同．
   因此，一个有趣的问题是：在给定任意初始状态的情况下，确定具有获胜策略的人．这似乎是一个非常困难的问题，我们会对朝着这个方向取得的任何进展感兴趣．）
5. 在锐角三角形中，为点所对的旁心．设，为外接圆上的两点，且满足．上一点满足和的外接圆相切．的外接圆上一点满足和平行．求证：