第1题. 用Z表示全体整数构成的集合. 求所有函数f : Z → Z, 满足对任意整数a和b, 都有
f (2a) + 2f (b) = f (f (a + b)).
第2题. 在三角形ABC中, 点A1在边BC上, 点B1在边AC上. 点P 和Q分别在线段AA1和BB1上, 且满足PQ平行于AB. 在直线PB1上取点P1, 使得点B1严格位于点P 与点P1之间, 并且ZPP1C = ZBAC. 类似地, 在直线QA1上取点Q1, 使得点A1严格位于点Q与点Q1之间, 并且ZCQ1Q = ZCBA.
证明: 点P, Q, P1, Q1共圆.
第3题.一个社交网络上有2019个用户, 某些用户之间是朋友关系. 只要用户A是用户B的朋友, 则用户B也是用户A的朋友. 如下形式的操作可反复进行, 每一时刻只进行一个操作:
三个用户A, B和C, 满足A与B, C都是朋友, 但B和C不是朋友, 则同时改变他们之间的朋友关系, 即B和C变为朋友, 但A与B不再是朋友, A与C也不再是朋友. 所有其他的朋友关系不改变.
已知最初时有1010个用户每人拥有1009个朋友, 有1009个用户每人拥有1010个朋友. 证明: 存在一个操作序列, 使得操作结束后, 每个用户至多只有一个朋友.
第4题.求所有正整数对(k, n), 满足
第5题.巴斯银行发行的硬币在一面上铸有H, 在另一面上铸有T . 哈利有n枚这样的硬币并将这些硬币从左至右排成一行. 他反复地进行如下操作: 如果恰有k (> 0)枚硬币H面朝上, 则他将从左至右的第k枚硬币翻转; 如果所有硬币都是T 面朝上, 则停止操作. 例如: 当n = 3, 并且初始状态是THT , 则操作过程为THT → HHT → HTT → TTT , 总共进行了三次操作 停止.
证明: 对每个初始状态, 哈利总在有限次操作 停止.
对每个初始状态C, 记L(C)为哈利从初始状态C开始至停止操作时的操作次数, 例如L(THT ) = 3, L(TTT ) = 0. 求C取遍所有2n个可能的初始状态时得到的L(C)的平均值.
第6题.在锐角三角形ABC中, I是内心, AB /= AC. 三角形ABC的内切圆ω与边BC, CA和AB分别相切于点D, E和F . 过点D且垂直于EF 的直线与ω的另一点交点为R. 直线AR与ω的另一交点为P . 三角形PCE和三角形PBF 的外接圆交于另一点Q.
证明: 直线DI和PQ的交点在过点A且垂直于AI的直线上.
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