2021哈佛麻省数学竞赛冬季赛主题赛试题

今天给大家推送2021哈佛麻省数学竞赛冬季赛主题赛试题

1.设本题的答案为. 锐角中, 的角平分线交于, 过作于. 线段交于点, 且. 已知, 求.

2.设本题的答案为. 瓮中有个白球, 以及至少个黑球. 现在依次从瓮中取出两个球(不放回). 求第一个球为白球且第二个球为黑球的概率(用百分比表示).

3.设本题的答案为. 六边形内接于半径为的圆. 若 的面积为,. 求的面积.

4.设本题的答案为. 对年的某个日期, 将其表示为的形式, 然后各位数字求和, 称为这个日期对应的数字和.(例如,5月13日写作,其数字和为. 求年所有数字和等于的日期的个数.

5.设本题的答案为. 实系数多项式恰有个实根, 求的所有可能值之和.

6.设本题的答案为. 正整数满足

求的值.

7.设本题的答案为. 初始时, 盒子中有个球, 盒子中的球的个数为的一半. 将中的个球移到盒子中, 此时中球的个数与中球的个数之比为, 其中为互质的正整数. 求 .

8.设本题的答案为. 求周长为的,三边长均为整数, 且互不全等的非退化三角形的个数.

9.设本题的答案为. 现在需要给 的所有约数染色, 使得任意两个满足的互异约数所染颜色互不相同, 则至少需要多少种颜色?

10.设本题的答案为. 正方形的边长为. 作两个边长为 的两个全等且互不重叠的正方形, , 使得共线, 在上, 在上, 为正三角形. 设的面积可以表示为, 其中为正整数, 不含平方因子, 求.