国际数学奥林匹克竞赛（International Mathematical Olympiad，简称为IMO）是匈牙利数学界于1894年组织的数学竞赛，旨在激发青年人的数学才能，引起青年对数学的兴趣，发现科技人才的后备军，促进各国数学教育的交流与发展。有很多同学（包括作者本人）在高中阶段都不敢接触IMO试题，《IMO也没有想象的那么难》这一系列就让我带领各位走近IMO。其实早期的IMO试题还是比较简单的，今天就让我给大家分享一道IMO试题：
这道题是第1届IMO的第5题，其实没有达到现今高考题解析几何的难度，主要是希望读者能够通过这道题来开拓一下思路。那让我们正式开始对这道题的解读：
首先是第一问，N是两个外接圆交点(已知条件)不是很方便利用，而相比之下N是AF与BC交点(目标条件)利用起来比较方便，所以我们可以用同一法去证明AF与BC的交点是两个外接圆的交点，再利用两直线交点的唯一性完成证明。那么具体做法如下：
设AF与BC交于N'，由于tan∠FAM=FM/AM,tan∠CBM=CM/BM=AM/FM,
故AF⊥BC于N'，再利用AC是圆P的直径，BF是圆Q的直径，可证N'分别在圆P与圆Q上，而AF与BC的交点是唯一的，故N与N'重合，证毕。
读者在思考第一问的时候主要是观察到了AF⊥BC的关系，进而利用几何特征避免了代数运算。
好，让我们带着类似的想法来看一看第二问：首先根据对称性我们很容易想到这个S点如果存在的话一定在直线AB上，或者是在线段AB的中垂线上，然而根据第一问提供的图来看明显是后一种更有可能成立，且S会与N在AB异侧。以上猜测其实不难想到，接下来进行进一步的猜测，首先还原到题目所指向的图本身，其实唯一不变的量就是AB是一条定线段，即线段AB的长度与位置是确定的，那么S点到AB的距离和线段AB的长度是存在一定关系的，这种情况下最容易猜想到的就是S到AB的距离是线段AB长度的一半，即A、S、B构成以AB为斜边的等腰直角三角形，事实上答案就是如此。那么我们可以带着这一猜测开始这一问的解答：
具体做法还是要利用同一法，我们延长NM至S'，联结AS'与BS',其中∠ABS'=45°。按照我们的设想AS'与BS'应该是垂直的，那么ANBS'应该共圆，∠ANS'=∠ABS'=45°，所以我们要证明∠ANS'=45°。好，我们观察到AN/BN=tan∠CBM=CM/BM=AM/BM，利用角平分线定理可知∠ANS'=∠BNS'=45°，所以ANBS'共圆，∠AS'B=90°。显然我们得到的S'是一个定点，即MN上存在一定点S，其中A、S、B构成以AB为斜边的等腰直角三角形且S与N在AB异侧。
接下来第三问研究的是中点轨迹，这就比较适合建立直角坐标系，利用代数式之间的关系来寻找几何特征了。具体做法如下：
设AB=l,AM=x,则BM=l-x,以AB为+x，AD为+y建立平面直角坐标系xOy,故P(x/2,x/2),Q((l+x)/2,(l-x)/2),PQ中点T的坐标为((l+2x)/4,l/4),其中0≤x≤l,故PQ中点T的轨迹为一条长度为AB长度一半，与AB相距四分之一个AB长度的线段。这一问的做法并没有利用太多几何特征，主要是代数表示，其实更贴近现在高考的思路。
看完刚才的解答，其实可以发现早期的IMO试题难度不算太大，对于一般的高中生而言是完全可以尝试去接触的，事实上IMO没有你想象的这么难。
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