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Junior Problems
J577．正实数，满足．求证：
J578．设为正实数，．已知，求的值．
J579．求所有整数对满足
J580．求方程的实数解：
J581．实数，，，满足求证：
J582．四边形内接于圆，圆心为．直线和相交于点，为的外接圆．直线再次交于点，直线再次交于点．已知凸六边形的面积为．求．
Senior Problems
S577．整数，，满足．求证：
不为奇数的平方．
S578．正实数，，满足．求证：
S579．以，，为三边的三角形面积为．正实数，，满足
求证：
S580．求证：不存在正整数，，满足
S581．素数满足．求证：存在正整数满足
S582．数列定义如下：，，且对于任意，都有
求所有正整数，使得存在，满足．
Undergraduate Problems
U577．对正整数，计算其中表示的小数部分．
U578．计算：其中．
U579．设为整数，为整系数多项式．数列定义如下：对任意，．求证：对任意正整数，存在正整数，使得
对任意足够大的恒成立．
U580．已知两个半径为且相切的圆，和它们的一条外公切线．左边的圆为白色的，右边的圆为灰色的．第三个较小的圆与较大的两个圆、公切线同时相切，且也是灰色的．按照如下规则插入无穷多个灰色圆：后续的每个圆和它前一个圆、最大的灰色圆、白色圆均相切．求灰色圆覆盖的总面积．
U581．正实数，且和互素．互异的非常数复系数多项式和满足
求证：，．
U582．设：为二阶可微函数，：满足．记为的Hessian矩阵，用表示．
Olympiad Problems
O577．正实数，，，满足
且不存在其中两个数小于，另两个数大于的情况．求证：
O578．求方程的正整数解：
O579．正实数，，满足．求证：
O580．在中，求证：
O581．设为不等边的非直角三角形．三条高分别为，，，三边中点分别为，，．为的重心，为的九点圆圆心．和交于点，和交于点．已知和平行，求证：平行于的欧拉线．
O582．为内部一点，为关于的等角共轭点．和分别为和在上的投影．和分别为和与外接圆的另一个交点．求证：和交于直线上．
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