2019年第7届新加坡天文奥林匹克竞赛(SAO)试题

2019年第7届新加坡天文奥林匹克竞赛试题
翻译：丛雨
封面图：涡状星系(M51A/B或NGC 5194/5），图片来源：美国国家航空航天局/欧洲空间局

译者翻译说明：
整场考试持续3.5小时，总分200分，题目具体分值使用了[]标注。
英文试题可在网站http://astronomy.sg获取，暂未找到常数表和答案解析。
题目翻译由个人完成，期间借助了谷歌翻译以及天文学名词数据库网站http://astrodict.china-vo.org，个人英文水平有限，部分题目的翻译质量欠佳。
数据分析题参考文献：
[1].Light curve data is derived from Tümer (1984) and downloaded from CALEB.
[2].Danjon A. Recherches de Photométrie Astronomique. Annales de l’Observatoire de Stras bourg. 1928;2: 1–185
[3].Evren S, Ertan AY, Tunca Z, Ibanoglu C, Kurutac M, Tümer O. Photoelectric photometry of Z Herculis.
[4].Astrophysics and Space Science. 1982 Oct;87(1-2): 51–9. Popper DM. Orbits of close binaries with CA II H and K in emission. I - Z Herculis and RS Canum Venaticorum. Astronomical Journal. 1988 Apr;95: 1242–50.
[5].Popper DM. Rediscussion of Eclipsing Binaries. I. Z Herculis. Astrophysical Journal. 1956 Jul;124: 196–207.
[6].Tümer O, Ibanoglu C, Tunca Z, Evren S. Light-curve analysis of Z Herculis. Astrophysics and Space Science. 1984 Sep;104(2): 225–44.1.

短问题 [12]
1.1 参宿七
1.2 伽利略卫星
1.3 消色差透镜
1.4 天鹰
1.5 毅力号
1.6 宇宙标度因子

2.中问题 [54]
2.1 太空填充
2.2 勒阿弗尔的日出
2.3 太空城
2.4 双子座流星群
2.5 引力测绘
2.6 星际质子
2.7 宇宙年龄

3.长问题 [34]
3.1 Part 1：恒星诞生
3.2 Part 2：恒星中年
3.3 Part 3：恒星死亡

4.数据分析：Seeing Double [40]
5. P(A) [10]
5.1 MCQ
5.2 MCQ
5.3 MCQ
5.4 MCQ
5.5 MCQ

6.P(B) [28]
6.1 辨别星座
6.2 冬季星空
6.3 夏季星空

7.P(C) [22]
7.1 Part 1
7.2 Part 2
7.3 Part 3
短问题部分[12]

1.1 参宿七(Rigel)[2]
一位同学通过她自己收集的数据绘制了参宿七的黑体辐射光谱图，已知参宿七的半径是79R⊙，以L⊙为单位给出其光度。

1.2 伽利略卫星(Galilean Moons)[2]
验证木卫一、二、三拥有共振轨道，并写出轨道共振率。相关数据见下表，木星质量为1.898×1027kg。
卫星名称
质量/kg
半长轴/km
木卫一Io
8.9 × 1022
421700
木卫二Europa
4.8 × 1022
671034
木卫三Ganymede
14.819 × 1022
1070412
木卫四Callisto
10.759 × 1022
1882709

1.3 消色差透镜(Achromatic Lens)[2]

消色差透镜通过确保不同波长的光具有相同的焦距来修正色差。一个消色差透镜由平凸透镜(一侧平坦一侧凸出)和平凹透镜(一侧平坦一侧凹陷)组成，且两种玻璃片A和B具有不同的折射率：
A
B
红光
1.48
1.66
蓝光
1.50
1.70
计算这一组合所需的曲率半径RA和RB，使其相当于一个焦距600 mm的聚光透镜。两个透镜的曲率半径RA和RB与折射率nA和nB满足如下关系式

1.4 天鹰(The Flying Eagle)[2]
河鼓二是夜空中一颗明亮且距离较近的恒星，它的视星等是+0.77，周年视差为0.195ʺ。计算河鼓二的绝对星等，结果保留小数点后两位。

1.5 毅力号(Perseverance)[2]
机遇号火星车的最大长度为2.3 m。距离火星表面17300 km高的同步轨道上的望远镜，想要在可见光波段(λ = 500nm)看到机遇号，它的口径至少是多少？

1.6 宇宙标度因子(Cosmological Scale Factor)[2]
在此问题中，我们要确定宇宙由辐射主导向物质主导转化的时期。下面给出了几个相关参数对宇宙密度参数的贡献：
• 光子：Ωγ,0=5.35×10−5
• 中微子：Ων,0=3.65×10−5
• 重子：Ωbary,0=0.048
• 暗物质：ΩDM,0=0.262

中问题部分[54]

在7道题中选做6题

2.1 太空填充(Spacefill)[9]

根据世界银行的数据，全球在2016年一共产生了约20亿吨(1吨= 1000千克)的固体垃圾。为了解决垃圾处理的问题，一名物理系本科生提议以恒定的速度将它们倾倒入一个史瓦西黑洞里，该黑洞同时也因霍金辐射以相同的速度损失其质量。以国际单位制计算该黑洞的：
• 质量 •史瓦西半径 •温度
你也许会用到黑洞的霍金温度公式:

以及斯特藩–玻尔兹曼常数:

2.2 勒阿弗尔的日出(Sunrise at Le Havre)[9]
《日出·印象》是克劳德·莫奈在勒阿弗尔(49°29ʹ N，0°06ʹ E)绘制的一幅油画。根据最近对其描绘的风景、潮汐和历史气象记录的分析，这幅画绘制于1872年11月13日的当地平太阳时7:35 am。查找天文年历得知，这一天太阳的赤经是15h 15m 23.00s，赤纬是−18° 05ʹ 38.20ʺ，时差(真太阳时−平太阳时)为+15m 33s。我们将太阳的上端与地平线接触时定义为日出，请计算：
• 当天此地日出的地方平太阳时，精确到分钟
• 日出时太阳的方位角，精确到度，方位角的测量方向为从北点(0°)到西点(90°)
大气折射会使视地平线比真地平线下移34ʹ。你可以忽略地球进动的影响。

2.3 太空城(Space City)[9]
在一座太空城里有两个金属锇制作的球，m1=1kg，m2=1.5kg，它们在引力的作用下以r=0.10m的距离互相绕转。计算它们的轨道周期。
证明一个半径r、质量m的球体卫星的洛希极限为：

rT为卫星中心到地球(质量ME)中心的距离。提示：在必要时应采用近似值。假设这个太空城是质量1.0×1010kg、半径1km的球体，据此计算它绕地球的最小轨道高度。

2.4 双子座流星群(Geminids)[9]
3200法厄同是一颗以赫利俄斯之子命名的小行星，直径仅有5.80 km，轨道半长轴1.271 AU，偏心率0.8899，比其他的小行星距离太阳更近。有趣的是，它也是一片流星群的母天体，这些流星体与法厄同有基本相同的轨道，每年的12月14日左右都会给我们带来双子座流星雨的奇观。
假设3200法厄同的轨道在黄道面内，且忽略地球引力对流星群的影响。
a).计算双子座流星相对于地球表面观测者的速度大小。
b).找到双子座流星雨辐射点(从地面上看，流星雨看似是从该点发出的)的赤经坐标，精确到5分。

2.5 引力测绘(Gravitational Mapping)[9]
假设有两颗卫星Tom和Jerry以相同的轨道绕一颗中子星运动，在中子星的中心观测，Jerry的位置在Tom的前方67.210°。两颗卫星的任务是绘制中子星的引力场分布，和地球轨道上的GRACE（重力测量和气候实验）卫星一样，Tom会向Jerry发射1575.25 MHz的微波脉冲信号。它们的轨道参数如下：
半长轴
1.7880×104m
偏心率
0
中子星的质量
2.7839×1030kg
你可以忽略广义相对论造成的光线弯曲，但要考虑其他的相对论效应。计算Jerry接收到的信号的频率，保留6位有效数字。

2.6 星际质子(Interstellar Proton)[9]
假设星际空间中有一个总能量为1TeV的质子朝向地球飞来。若:

其中v是质子的速度，估算δ的值。
如果质子飞行到人造卫星附近并穿过一片均匀的稳恒磁场，根据质子受到的作用力F(其中)和总能量E，给出质子轨道的曲率半径。

2.7 宇宙年龄(Age of the Universe)[9]
此题你将会用到微分运算，因此下面给出了一个多项式函数的微分计算结果:

其中n是实数，x是变量。
在一次知识竞赛中，Tommy要挑战估算宇宙的年龄，他被要求不能从维基百科上查找数据，你需要协助他完成计算。已知弗里德曼方程：

其中，ρ是宇宙密度，a是归一化的宇宙尺度因子，k是宇宙曲率，H是哈勃常数。

哈勃常数最新的测量结果是67.8 km s–1 Mpc–1。
此外，热力学第一定律如下：

ΔE是内能的变化量，p是压强，ΔV是体积的变化量，T是温度，ΔS是熵的变化量。假设可逆膨胀过程的ΔS = 0，即熵不变，由热力学第一定律导出宇宙的流体方程：

进而写出加速度方程：

某些情况下，可以得到尺度因子a关于时间的函数解：

当t = t0时a的值为1。说明获得此解的必要条件。假设上述条件均成立，估计宇宙的年龄。