Question 25
For n a positive integer, let R(n) be the sum of remainders when n is divided by 2,3,4,5,6,7,8,9,and10. For example, R(15)=1+0+3+0+3+1+7+6+5=26. How many two-digit positive integers n satisfy R(n)=R(n+1)?
首先我们考虑正整数n除以m的余数以及n+1除以m的余数，容易想到，后者要么比前者大1，要么比前者小m-1（此时n+1为m的倍数）。
“情况1：
如果n是偶数，则n+1是奇数，那么对于所有偶数m来说，因为n+1不可能是m的倍数，所以n+1除以m的余数必然会比n除以m的余数大1，见下表：
为了使R(n)=R(n+1)，只能取8个1和一个-8，但此时n+1是9的倍数，那也就是3的倍数，所以3为除数会产生-2而不是1，矛盾。这就说明，n不可能是偶数。
“情况2：
如果n是奇数，则n+1是偶数，所以2为除数会产生-1。我们继续讨论，如果n+1是6的倍数，那么它也是3的倍数，这样会产生-2和-5，而另外几个数加起来最多是+6，这是配不平的；同理n+1也不能是8,9,10的倍数。这样，不确定的就只有除数为4和7的时候，见下表：
为了使R(n)=R(n+1)，只能取一个-1，一个-6和7个1，此时n+1是2和7的倍数，也就是14的倍数，但不能是3,4,5,6,8,9,10的倍数。所以在100以内满足这些条件的n+1只有14和98，也就是n=13或97。答案选C。
总体来说，这次的25题没有往年那么难以想到或者计算量惊人，只要有一定的数论基础，加上细心和耐心就可以做出来。
今年有望晋级的小伙伴，可以准备起明年的AIME复赛啦，今年没有考好的小伙伴，如果明年年龄没超的话可以继续再战。竞赛是一个长期积累的过程，千万不要临时抱佛脚，上课要及早哦！
【竞赛报名/项目咨询请加微信：mollywei007】
