夏校申请季如何选择适合自己的夏校呢？

每年的1-4月都是各大国际数学暑期学校的申请季。如此多高含金量，并且充满趣味性、专业性、研究性质的数学暑期活动，相信喜欢数学思维的同学都会尝试去挑战下不同夏校的测试题。

限于文章篇幅，这里就不详细介绍每个夏校的历史了，大家可以自行去官网了解相关信息：
PROMYS (波士顿青年数学家计划)
https://promys.org/
SUMaC (斯坦福大学数学营)
https://sumac.spcs.stanford.edu/
ROSS (罗斯数学夏令营)
https://rossprogram.org/
PRIMES (MIT数学、工程和科学研究项目)
https://math.mit.edu/research/highschool/primes/apply.php（严格意义讲这不算暑期活动，但是活动性质类似）
MathILy
http://mathily.org/
Awesome Math
https://www.awesomemath.org/
Canada/USA Mathcamp
https://www.mathcamp.org/

申请时，一个非常重要的问题是，时间精力有限的条件下，如何选择适合自己的夏校呢？
本文中，我主要想从“试题特点”和“夏校风格”两个角度来谈谈，如何怎么选择适合自己的夏校~~
文章比较长，可以分为4个部分
Part 1： 夏校简介
Part 2： 游戏环节
Part 3： 试题特点与夏校风格
Part 4： 总结

Part 1： 夏校简介
考虑到可能有读者是第一次接触“夏校”这一概念，所以我先做4个简单的科普

科普一：什么是夏校？
夏校就是暑期学校（summer school），多数是每年暑假6月下旬至8月底，由高知名度、学术实力强的学校为国内外学生开设的一种围绕某个学科的课程丰富的暑期项目，多由本校的教授和研究生直接授课。
学术性强，接近大学课程。在1-2个月的时间内，以某个数学专题为核心，研究其中的一系列问题，报告成果。
除了高强度的课程、讲座、研讨会，也有丰富的社交娱乐活动和旅行。

科普二：申请夏校有什么用？
顶尖数学夏校含金量极高，录取学生少，进入这些数学夏校对于申请顶级大学有很大帮助；
从申请流程和内容而言，美国大部分优质顶尖夏校的申请难度以及材料准备不弱于本科的申请，因此这是一次很好的本科申请的预演；
数学是大多数学科的基本，对于不确定未来专业方向的学生来讲申请数学夏校是最稳妥最有效的数学背景提升方法；
对于数学非常有兴趣的学生，夏校是提前感受数学的基础研究的大好机会；
夏校本身课程质量相当高，课外活动十分丰富，帮助申请人开阔眼界、提前体验美国大学生活，也有机会认识许多厉害的同学和教授，对于自身各方面水平的提升都是很大的。

科普三：适合什么学生参加？
高中部分的课内数学知识已经基本掌握；
有一定数学竞赛基础和参赛经历，比如曾在MATHCOUNTS、AMC10/12、AIME、ARML、HMMT、PUMaC等比赛中取得优异成绩；
对于数学的基础研究有兴趣的同学，或者想要了解更多数学相关领域的同学（夏校的课程不同于解竞赛题，而是针对一个数学问题，不断深入地思考，从具体到抽象，找出一般的规律的过程）
许多夏校可以二次参加，例如
ROSS中表现优异者会被邀请参加第二阶段的研究项目；
SUMaC有2种类型的课程，但是初次参加者只能选择1个项目，第二年可以参加另一项目；
Awesome math的课程会分成不同等级，如果初次参加选择等级较低的课程，来年可能选择更高级的课程

科普四：夏校申请的测试题有什么特点？
不限时，独立完成；
题目都是解答题，其中包括大量的证明题以及开放性问题；很多题目不要求一定要得出正确的答案，更重视展现自己的数学思考和发现结论的整个过程；
很多问题给出一个新颖的背景或者抽象的数学概念，引导你分析它的一些性质，通过归纳与演绎，猜想与证明，将概念逐渐抽象化，推广到更一般的性质；
题目形式多样有趣，并且不同夏校的测试题的风格差异很大，有偏重数论的（ROSS），有偏重组合证明的（SUMaC），有偏重代数技巧的（Awesome math），有综合性的（PROMYS），有偏重高中课内和大学基础知识的（PRIMES），还有趣味性特别强的杂题型的（Mathily）。

Part 2： 我们来做个游戏吧
首先，我们先来玩个游戏吧
猜猜这是哪个夏校的测验题？你更喜欢哪种类型的题目呢？
夏校1

夏校2

夏校3

夏校4

夏校5

夏校6

如果你仔细看了每道题目的话，应该会发现，无论是涉及的知识点（数论，组合，代数，几何，大学数学），还是出题的风格（纯解题性的问题，涉及抽象概念的研究型问题，趣味性强的研究型题目）都有很大的差异，那么我来揭晓答案吧

答案
1 Mathily
2 Awesome math
3 Ross
4 SUMaC
5 PROMYS
6 PRIMES

Part 3： 试题特点与夏校风格
ROSS：硬核派数论主题夏令营
ROSS的核心主题就是数论，无论是测试题还是活动期间的课程，都是围绕着数论这一核心主题。因此，“是否对数论感兴趣”就成了你是否适合参与ROSS的首要判别标准。如果你不喜欢数论，那么即使申请成功了，课程期间你可能也会觉得颇为无聊。
根据官网信息，试题中涉及的知识包括

我们以2021年的第4题为例

本题目提出一个 “binomid”的概念，题目背景其实是对于组合数形式的一个推广，但是不同小问之间的差异还是很大的。（a）问主要是熟悉一下概念，比较简单；（b）问会涉及非常多的技巧，例如对于order概念的应用，用v(p)函数以及LTE引理来判断质数的幂次，再利用取整函数性质进行证明；（c）问虽只涉及取整函数的计算性质，但会更加复杂一些；（d）问则是一个开放性问题，需要自己来研究并发现一些新的数。

SUMaC：组合证明有点难~
SUMaC的测试题中，不同题目的难度差异是非常大的（其他夏校多是不同题目难度很接近）。SUMaC往往前2-3题比较简单，后3题中的某些小问会非常难（比IMO的3和6都要难），而且往往是探索研究性质的（即不一定有标准答案），需要自己去发现规律并证明。其题目的内容虽对于代数、数论、组合都有涉及，但是难题往往都是涉及组合证明的，因此对于一些组合证明的技巧要求相当高（最好还会编程，用来发现规律和验证自己的猜想）

我们以2020年的第6和第7题为例

可以看到，这2题的共同特点就是在某个背景下，给定一种变化规律亦或是定义了一系列操作规则，然后考察从不同的初始状态出发，经过一系列的变化或者操作，可能达到哪些不同状态以及变化过程中的规律。处理这里问题，需要很多的组合证明技巧，例如数学归纳法，组合构造技巧，不变量原理，极值原理等等（当然还需要颇高的数学天赋）。例如第7题的（b）问，需要构造一个指数同余相关的函数，证明在题目给定的规则中，函数是无法从初始值变化到最终值的。

PROMYS：综合性强，解题性与研究性兼顾
PROMYS从整体难度上来讲会比ROSS和SUMaC低一些。题目涉及的知识点比较广泛，代数、几何、数论、计数、组合证明等都有涉及。试题兼顾了解题性和研究性，一般每道题目的第一问非常接近AMC或者AIME的题目，后面几问是在第1问的基础上做了一定程度的推广，有一定的研究性质。因此作为申请夏校的入门，尝试一下PROMYS的题目还是挺合适（但是录取人数尤其是国际生非常少，因此申请难度还是很大的）。

我们以2020年的题目为例

这是一道求期望的问题，车较少的情况可以通过枚举或者分类讨论得到，但如果想推广到更大的数或者一般情况，会发现分类讨论有点不方便。因此可以考虑递推的方法，发现其实是一个相对简单的递推数列。

这是需要研究数列的末位数字问题，初始情况可以通过同余和欧拉函数的进行计算，但推广到一般情况则需要通过数学归纳法进行严格证明。从特殊到一般的过程中，非常好地融合了解题性与研究性。

Mathily：题目这么有趣的？
Mathily其实不算是特别有名的夏校活动，但是如果你仔细做了它的测试题，你会感到非常有趣。每道题目都是一个十分新颖的背景（多数还配了好看的卡通图），在此背景下研究一系列的问题。此外，这些题目的门槛非常低，基本不需要任何的数学知识作为基础，主要是理解题目，通过自己的思考和推理发现一些规律性的东西，再尝试去计算或者说明。题目的问法与PROMYS很像，也是先考虑简单情况，然后引导你推导到一般的规律。这些题目让你在愉快的解题过程中，经历了一次发现数学规律的过程。

我就不多说了，大家自己来感受下吧~~（包括前面猜谜中的第1题）

Awesome Math：稳扎稳打，夯实基础
Awesome的题目就是非常典型的竞赛题了，主要考察的是代数，少量涉及几何和数论。题目难度上，也就是一般的竞赛题难度（接近于AMC10/12），相对其他夏校来讲，还是颇为简单的。此外，Awesome的夏校课程也是按照模块和等级，来介绍几何、组合、数论、代数的竞赛知识，基本不涉及大学的研究型领域。因此，Awesome更多适合那些刚刚接触数学竞赛，希望能够学到更多本领，以后在AMC12/AIME/USAMO等比赛中取得优异成绩的同学。
来看下2020年的部分题目吧

例如以上这些题目，都是非常普通的竞赛型计算题，不涉及证明和开放性研究题目。只要有基本的AMC10或者12的基础，很多题目都是可以解决的。

PRIMES：大学数学课程，你准备好了吗？
PRIMES是MIT举办的面向高中生的研究型项目，为了帮助高中学生更早接触大学的研究课题。并且项目持续时间是一年，不仅限于暑期（最好是Boston附近地区的）。因此PRIMES的试题风格也比较明显，特别注重数学基础的掌握，一共分别2个部分，分别是General Math Problems和Advanced Math Problems，前者涉及的是高中课内知识和竞赛类知识，包括多项式、复数、期望、数列、数论等等，后者涉及的是大学数学的内容，包括图论、抽象代数、线性代数、微积分、拓扑等等。出题风格上多是解题性的题目，研究性质的较少（PRIMES官网上有历年试题的解析，其他夏校是没有的）。因此此项目更适合喜欢数学研究，并且对于大学数学已经有一定了解的同学。
我们来看下2021年度的试题

其中第一题是General Math部分的题目，考察的是数列与数论，属于竞赛数学的范畴；第二题是Advanced Math部分的题目，考察的是线性代数中向量空间的概念以及衍生的性质，需要同学对于线性代数有一定的理解。

Part 4： 总结
结合以上的分析，我们可以得到一个关于夏校信息和试题特点的总结，赶紧看一看你适合哪款夏校吧~

对于自己适合申请什么夏校，心里有数了吗