数学建模常用模型及基本方法和步骤说明

数学，曾是校外培训班中的“必修课”，是各种选拔考试的必选项。早年间轰轰烈烈的“奥数班”热闹一时，随着高中数学新课程标准颁布和“双减”政策落地，数学课程结构发生变化，数学建模进入新课标课程，明确数学学科核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。

数学建模正在越来越受到师生重视。数学模型是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明:

通过学习一个有意义的模型，由简单到复杂展现数学建模的逐步深入和发展的过程，才有可能真正学到数学建模的方法，真正领悟到数学建模的丰富内涵和无限的发展生机，感受到数学建模的威力和魅力。在这个基础上，对其他一些建模案例也可以比较容易地把握它们的内涵，有一个确如其分的认识和理解。

对于高中生而言，学习数学建模项目，是希望能帮助中学生建立思考问题的系统性和发散性，将数学知识应用于实际生活的能力和提升发现问题实质的能力。

数学建模常用模型

在数学建模中较为重要的就是模型的掌握，常见的几种模型：预测类、评价与决策、分类、优化及图论。

一、预测类：

1.灰色预测模型：数据样本较少，数据呈现指数或曲线的形式，例如：可以通过极值点和稳定点来预测下一次稳定点和极值点出现的时间点 。

2.回归分析预测：求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变化；自变量之间的协方差比较小，最好趋近于0，自变量间的相关性小；样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；因变量要符合正态分布 。

3.马尔可夫预测：一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率 。

二、评价与决策：

1.模糊综合评判 ：评价一个对象优良中差等层次评价

2.主成分分析法：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强

3.层次分析法：通过指标，综合考虑做出决策

4.方差分析、协方差分析：方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲及初始情况。

三、分类：

一些机器学习或数据挖掘的相关算法模型：层次聚类、密度聚类、距离聚类、贝叶斯判别

四、优化：

1.动态规划（背包问题模型）

2.线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）

3.排队论

五、图论：

1.最小生成树（prim算法、Kruskal算法）

2.最短路径（Dijkstra算法、Floyd算法、Bellman-Ford算法、SPFA算法）

学习数字模型，需要知识面开阔，逻辑思维严密，能够把抽象的问题具体化为数学模型解决。在学习的过程中，一定要做到勤学勤练，只要练好了知识才是自己的。

数学建模基本方法

一般说来数学建模的方法大体上可分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的数学模型常有明确的物理或现实意义。

建模方法测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”（意思是内部机理看不清楚），通过对测量数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型。

面对于一个实际问题用哪一种方法建模，主要取决于人们对研究对象的了解程度和建模目的。如果掌握了一些内部机理的知识，模型也要求具有反映内部特征的物理意义，建模就应以机理分析为主。而如果对象的内部机理规律基本上不清楚，模型也不需要反映内部特征，那么可以用测试分析。对于许多实际问题也常常将两种方法结合起来，用机理分析建立模型结构，用测试分析确定模型的参数。

数学建模步骤

建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与问题性质和建模的目的等有关。

模型准备：了解实际背景，明确建模目的，搜索必要信息，弄清对象的主要特征，形成一个比较清晰的“问题”（即问题的提出）。情况明才能方法对，在这个阶段要深入调查研究，虚心向实际工作者请教，尽量掌握第一手资料。

模型假设：根据对象的特征和建模目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，作出必要的、合理的简化假设。对于建模的成败这是非常重要和困难的一步。假设不合理或太简单，会导致错误的或无用的模型；假设作得过分详细，试图把复杂对象的众多因素都考虑进去，会使你很难或无法继续下一步的工作。常常需要在合理与简化之间作出恰当的折衷，要不段积累经验，并注意培养和充分发挥对事物的洞察力和判断力。

模型的建立：根据假设，用数学的语言、符号描述对象的内在规律，得到一个数学结构。这里除了需要一些相关的专门知识外，还常常需要较为广阔的应用数学方面的知识，要善于发挥想象力，注意使用类比法，分析对象与熟悉的其他对象的共性，借用已有的数学模型。建模时还应遵循的一个原则是尽量采用简单数学工具，因为你的模型总希望更多的人了解和使用，而不是只供少数专家欣赏。

模型求解：使用各种数学方法、数学软件和计算机技术对模型求解。模型分析：对求解结果进行数学上的分析，如对结果进行误差分析，分析模型对数据的稳定性或灵敏性等。

模型检验：把求解和分析结果翻译回到实际问题，与实际现象、数据进行比较，检验模型的合理性与适用性。如果结果与实际不符，问题常常出现在模型假设上，应该修改或补充假设，重新建模。这一步对于模型是否真的有用是非常关键的，要以严肃认真的态度对待。

数学建模的全过程可分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环。表述是根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题，即将现实问题“翻译”成抽象的数学问题，属于归纳法。数学模型的求解选择适当的数学方法求得数学模型的解答，则属于演绎法。解释是将数学语言表述的数学模型的解答“翻译”回实际对象，给出分析、预报、决策或者控制的结果。最后，作为这个过程的最重要一环——检验，是用现实对象的信息检验得到的解答。

数学建模题型

一般而言，数学建模的题型结构形式有三个基本组成部分。

1．实际问题背景

涉及面宽——有社会，经济，管理，生活，环境，自然现象，工程技术，现代科学中出现的新问题等。一般都有一个比较确切的现实问题，比如之前机构推荐的根据电商平台商品用户满意度建立销售策略数学建模、“新冠疫情预测”项目、用pagerank算法衡量音乐艺术家们之间的影响力等数学建模课题，都是针对某一现象进行假设分析。

2．若干假设条件有如下几种情况

1)只有过程、规则等定性假设，无具体定量数据;

2)给出若干实测或统计数据;

3)给出若干参数或图形;

4)蕴涵着某些机动、可发挥的补充假设条件，可以根据自己收集或模拟产生数据。

3．要求回答的问题往往有几个问题，而且一般不是唯一答案

一般包含以下两部分:

1)比较确定性的答案(基本答案);

2)更细致或更高层次的讨论结果(往往是讨论最优方案的提法和结果)。

数模更像是一个综合性的问题“课题”，大部分都源于生产实际或者科学研究的过程中，根据实际的模拟，在某种合理的假设下完成实际问题的近似表达。因此，答案结果只能是较优，不是唯一的。相比于传统偏重理论知识的数学竞赛， “数模”更偏重于应用，培养的是以数学知识为引导计算机运用能力及文章的写作能力为辅的综合能力。

初学建模需要储备大量数学知识，可以看一些入门知识书籍，比如司守奎的《数学建模算法与应用》，这本书的算法比较全面，看完能对数学建模有个整体的了解。谢金星《数学模型》，这本书对数学模型有更多的数学理论的证明，看完能进一步了解数学建模内部的原理。吴军《数学之美》这本书讲得比较泛，文字比较多，但是认真看完能对里面提到的一些重要的模型有深入的了解，而且也能让你明白数学建模的实际用途。

当然，想要快速入门的话，也可以预约机构数学建模先导课！一节课教会你：基础统计知识；随机变量概率分布；经典建模入门案例；个性化课题探讨，带你开启数学建模的奇妙世界。

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数模先导课由机构数理基础导AMC教学主管W老师亲自授课，W老师系斯坦福大学统计系硕士，精通数学建模、统计模型，曾获AIME上海区最高分，进入USAMO Qualifier，是Duke Math Meet教练，AMC、HiMCM等数学竞赛教练，属于真正的“大牛”老师。

机构数学建模课程收获

01积累数学知识

学生通过课程，培养用数学方法解决实际问题的能力、在团结合作中发挥集体力量攻关的意识和能，提高问题的阐述分析、模型的假设和建立、计算结果及讨论、撰写专业学术论文的能力，为日后研究学习做铺垫。

02提升综合能力

除数学基础外，数学建模也对学生解决实际问题的能力有所要求。在有方学术团队、导师、顾问和助教的帮助下，学生可以全面提升自己的研究能力、分析能力和原创性思维，并通过参加相关赛事证明及奖项凸显自己的个人特质，在申请中获得领跑优势。

03展现兴趣

数学建模经历可以帮助学生体现自己对数学的兴趣和热情，帮助学生申请相关专业课程计划。

在学习数学建模中，要注意数学建模的学习和训练，数学建模的认识和实践着重点不在广度，而在深度。不在于面面俱到，学习越来越多的案例，而在于有选择的抓住适当的主题，向深处进军，从不同的层面上充分展示数学建模的风采。