AMC数学竞赛排列组合题分析

今天了来讲讲，AMC 春季班不少同学反馈的老是不太理解的排列组合的定义、公式以及一些应用。初学排列组合或者课内学的非常基础的同学。

学习排列组合的关键是：你先得非常明确一些基本模型，这些基本模型往往只用很小的数字就能说明，然后再做一些数字大的问题就思路清晰了。

本文篇幅较长，内容包括：

一：P 的由来

二：C 的由来

三：5 个组合数的公式直观解释

四：10 个常见题型和方法（如果对 P 和 C 的概念定义非常熟悉的同学可直接跳至第四部分直接看题。）

现在开始！

1P 的由来

所谓排列组合，排列在组合之前，咱们要聊的第一个概念是“排列”，排列的英文是 Permutation 或者 Arrangement，因此在数学符号中，用 P 或者 A 表示都可以，二者意思完全一样。

我们常见的 P 右边会跟两个数字（或字母），右下角的数字 n 表示总数，右上角的数字 m 表示抽出的个数。整个符号的意思是“从 n 个人中，有顺序地抽出 m 个人的抽法数”，可以读作“P n 抽 m”。。那么，到底什么叫做有顺序的？我们来举个数字很小的例子：

比如：班里有三名同学，成绩前两名有几种可能性？

咱们可以用乘法原理：选第一名有 3 种可能性，选第二名有 2 中可能性，因为第一名那个人不可能同时又是第二名了，将这两步相乘起来。（如果你不太理解乘法原理，可以看看下图直观列举的表示。）

这个公式需要注意的是：虽然书上每次讲到这个公式时一般以阶乘（factorial）的形式给出，但实际计算中，往往不用阶乘。我的记法是：从大的数字开始往小乘，乘“小的数字那么多”个。

2C 的由来 

咱们聊的第二个概念是“组合”，它比排列更常用，组合的英文是 Combination，因此在数学符号中用 C 表示，美国和英国教材中，也常用“长括号”表示组合数。

我们常见的 C 右边会跟两个数字（或字母），右下角的数字 n 表示总数，右上角的数字 m 表示抽出的个数。整个符号的意思是“从 n 个人中，不计顺序地抽出 m 个人的抽法数”，可以读作“C n 抽 m”。那么，到底什么叫做不计顺序的？我们也来举个例子：

比如：班里有三名同学，选出两名代表参加年级会议有几种选法？

哈哈，这就可以用到之前排列数的结论了！就让刚才的第一名和第二名去参加会议。但是，对于参加会议来说，谁是第一谁是第二不重要呀！因此我把原图的红色和蓝色都涂成了黑色，以示无区别。（如下图）

至此，第二步中，第一种和第三种都是 A、B 的组合，完全一样，就会有一些算重的，至于有多少个算重，取决于抽出个数 m 的全排列种数，即 m 的阶乘。（如果你不太理解哪些算重了，可以仔细看看下图中箭头所指的对应关系）

于是，组合数公式就是在排列数公式上除以一个 m！。但实际计算中，往往不用阶乘。我的记法是：从大的数字开始往小乘，乘“小的数字那么多”个，再除以“小的数字开始往小乘，乘小的数字那么多个”。

3组合数的公式直观解释 

组合公式Ⅰ

这个公式课内和竞赛都会常常用到。我在刚学的时候把它联想成“做值日”问题，四个同学中，选三名同学做值日就相当于选一名同学放学直接回家。

比如，班里有 A、B、C、D 四个同学，每天要选出三个同学做值日，有几种选法？这个问题对于学过排列组合的同学自然非常简单了，就是 C 4 抽 3，但是，假如问一个没学过排列组合的人，他会怎么想呢？如果想 ABC，ACD……这种就会比较难想，不如去想它的反面：选Ａ、B、C 或 D 放学直接回家，总共就四种。这就能直观的理解这个公式了。

这个公式对于运算 C 10 抽 8 这样的组合数时非常有用，直接转化成 C 10 抽 2 来计算。

组合公式Ⅱ

这个公式课内会提到，但不要求熟练掌握，竞赛会常用。可以把它联想成“约同学玩剧本杀”问题，看看在四个同学中，想约两个同学有几种约法。如果四个人都是普通朋友，看作是相同的 A、B、C、D，那自然有 C 4 抽 2 =6 种约法。

下面我们来点刺激的：假如这四个人中有一个是戏精本精，他最特殊，你会先问他来不来：①如果他来，但你还想一共约两个同学，那么就需要在其他三个同学中再约一个，有 C 3 抽 1 ，共3种方法；

②如果他不来，那你就需要在其他三个同学再约两个，有 C 3 抽 2 共3种方法。

两类相加，表示的意义就是从 4 个同学中约两个同学的情况总数，即公式成立。

这个公式对于处理两个组合数相加问题非常有用，落实在计算上，我把它总结成口诀：上面的数字取大的，底下的数字加一。

组合公式Ⅲ

这个公式课内和竞赛都会常常用到。我把它叫做抓兔子问题，想象一个笼子里有两只兔子，抓出来的话有几种抓法？

第一种方法是我去笼子里抓，我在抓的时候就想好是抓 1 只还是抓 2 只，或是抓 0 只（即不抓）。由于先想好了这一点，就会有 C 2 抽 1 和 C 2 抽 2 这些组合数，分别表示按“抓一只”、“抓两只” 分类，每类的情况数；

第二种情况是我把笼子打开，让每只兔子自己选择跳出来或是不跳出来（2 种可能性），每只兔子都是独立的个体，所以可以用乘法原理，总共的情况数是 n 个 2 相乘，即 2 的 n 次方。

两种方法都表示“兔子出来的情况数”，因此一样，即公式得以解释。

这个公式对于处理一系列“底下相同的”组合数相加的问题非常好用，大大节省计算量。而且它与集合、二项式定理等中学数学知识紧密相连，需深入理解。

组合公式Ⅳ

这个公式一般在竞赛中会出现。我把它叫做火车头问题：抽出的一些元素，总有一个打头的，称为火车头，它也是火车的一节，只不过是特殊的一节。

具体来讲，比如说你要在 A、B、C、D、E 这 5 个小球中抽取 3 个小球，咱们可以按“哪个小球是第一个”分类

第一类：A 为火车头，那么还需在后面四个小球中抽取两个小球；

第二类：B 为火车头，那么还需在后面三个小球中抽取两个小球；

第三类：C 为火车头，那么还需在后面两个小球中抽取两个小球。

至于 D 或 E 开头的，就不足“三节车厢”了，故不计算。我们把之前说的三类加起来，就直观地理解了这个公式。

这个公式对于处理一系列“上面相同的”组合数相加的问题非常好用，大大节省计算量。记忆方法是：和为上面下面都加一。

组合公式Ⅴ

这个公式是一个相加和相乘结合的公式，看似复杂，但并不难理解。我对它的理解是：可以想象成班里选几名学生，分男女选和不分男女选情况数一样。

比如说，咱们假设班里有 7 名学生，4 男 3 女。如果选出三个人参加竞赛有几种选法？首先容易想到的是 C 7 抽 3 =35。没错，不过咱们还有一个思路，就是按“男女各多少人”分类讨论。

第一类：0 男 3 女，分别抽取，再乘起来。

第二类：1 男 2 女，分别抽取，再乘起来。

第三类：2 男 1 女，分别抽取，再乘起来。

第四类：3 男 0 女，分别抽取，再乘起来。

这四类是互不重叠的，可用加法原理将其相加。原公式就得以直观理解。

上面 5 个公式都可以代数证明，也可按照我举得例子通俗理解，如果这二者你都很清楚，那排列组合就能融会贯通了。