欧几里得竞赛考点及历年试题分析

欧几里得竞赛是加拿大最具认可度的数学竞赛之一，4月即将到来的欧几里得竞赛，吸引了每年超2万优秀学子参加。

人数多，竞争大，一般对于想要拿高分的考生而言，欧几里得满分100分，保证前7道题全部做对就可拿奖。不过相信许多同学有志于斩获Honor，那就需要更关注第九题和第十题，今天机构竞赛大神带你反复练习，分类总结为两类考点，斩获Honor。

欧几里得数学竞赛简介

欧几里得数学竞赛(Euclid Mathematics Contest)是由加拿大滑铁卢大学的数学院为全球12年级的高中生举办的数学竞赛，被称之为“数学界的托福”。

考试内容包括指数对数，三角函数，平面几何，解析几何，数列，排列组合，数论，函数方程与多项式等。竞赛于每年的4月份举行。

欧赛的难度只比高中数学的教学大纲稍稍高出一点，所以想要拿到证书并不难，但是专有术语的英语表达方式一定要熟悉。如果能够在欧赛中取得优异成绩，在申请加拿大以及北美院校的理科时都可以增加优势。

欧几里得竞赛两大考点

第一类：知识点的综合应用，就是几何叠加复杂方程组、几何叠加不定方程、数列叠加复杂方程组、数列叠加不定方程。

这道题的本质还是方程组的求解问题。方程组的求解是欧几里得特别喜欢考的一个点，比如2000年至2021年最难的一道方程组的题，2008-9-(b)：

第二类：几何叠加不定方程

关于齐次不定方程的解法，有以下几种：

1 ：因式分解法

2 ：配方法

3 ：放缩法

4 ：同余法

5 ：△法

诸如a2 + mab + b2 = A，其他方法失效的，没办法因式分解、配方，则用△法。在用△法的过程中，比如碰到诸如：m2 + Pn2 = B（P 为小质数、B 为整数），这种时候，要 充分用如下的结论：

1）3 的倍数的平方值 mod 3 时，值为 0,1,1（即只能是 0 或 1）

2）4 的倍数的平方值 mod 4 时，值为 0,1,0,1（即只能是 0 或 1）

3）5 的倍数的平方值 mod 5 时，值为 0,1，-1（即只能是 0 或 1 或-1）

我们注意这些内容的主要目的是可以缩小试根的范围，比如：

解不定方程：m2 + mn + n2 = 2011，用△法是最后一个比较好的选择（或者配方也可 以，配成 2m + n 2 + 3n2 = 8044），在用△法之后，会得出一个不定方程：

a2 + 3b2 = 8044

假如我们去用试根法，因为 b≤51，然后 51,50,49,48.47……这么试下去，这显然是有问题的，在考场上你没有那么多时间，我们肯定是用同余的方法，不断缩小范围，减少试的次数，这样才会可能把题目做对。寻找 mod 3，mod 4，mod 5；不建议再寻找 mod 6 或以上，因为会出现大量的解。比如以下题目：AIME-2011-I 卷

在更高级别的比赛中，会碰到非齐次的不定方程，比如x2 + 3y3 = z2，N 级别的比赛中鲜少碰到，在欧几里得的考题重要也基本不考，所以不用关注了。

由于篇幅有限今天先给大家讲解这些，具体有问题可以扫码添加小助手预约竞赛老师详细咨询，还可以领取欧几里得竞赛真题

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