P4模块反证法攻分策略

在 Alevel数学 P4模块中，反证法的考核分值近年来呈上升趋势，并且题型考点方面也体现出了更强的综合性。牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。那么何为反证法？

书中如此定义：”To prove a statement by contradiction you start by assuming it is not true.“反证法指的是对题设肯定，而对结论否定，若在此过程中推出明显矛盾 (主要包括与题设的矛盾，与已知定义，公理和性质的矛盾)，进而得出原命题成立，这便是反证法的本质思想。本篇将由理综教研部老师为大家以真题梳理的方式解读反证法的攻分策略。

反证逻辑

真题梳理

相较于教材中亢长的定义，理综教研部的 P4讲堂上会结合一些生活中通俗易懂的实例，如证明某餐馆很受欢迎。第一步先否定结论做出反设：该餐馆不受欢迎。第二步，推理出若该餐馆不受欢迎，那么周末晚间一定是空荡荡的，但这与小明每次去该餐馆都轮不到位置的事实相矛盾。第三步，由此可推出该餐馆确实是受欢迎的。简而言之，可把反证过程简要概括为三步，即“否定结论 - 推导矛盾 - 结论成立”。

答题格式：

来源：理综教研部 P4模块专项讲义截图

根据理综教研部整合历年真题，发现自2021年 10月份起，P4模块中反证法分值设置从原本的3分增加到了 6分，而自2022年起，考察也不再局限于书本例题，考点更具综合性，灵活涵盖纯数中其他知识点。综合以上两大趋势，P4讲堂在讲解反证法解题步骤的同时，更加注重真题的出题逻辑，结合“每课一证”的教学计划，引导渗透反证法的思想，从而形成认知与应用的螺旋式上升。根据历年真题整合，Prove by Contradiction的题型常见的逻辑证明核心矛盾主要体现在与已知条件矛盾；与已知公理、定义、定理或公式矛盾；与反设矛盾。

『与反设，已知条件矛盾』

 用反证法证明不存在最大奇数 (2021年 5月真题，书本 Example 1原题)

来源：理综教研部 P4模块教材截图

 用反证法证明数的奇偶性以及数的倍数 (2020、2022年 5月真题，书本 Example 2变形题)

例题 1

来源：理综教研部 P4模块教材截图

例题 2来源：2020年 5月 P4模块真题

此类证明 be divisible by 4等价于 multiple of 4，则可用代数 4k表示，然后根据三步法则写出正确解题步骤，如下所示：

来源：理综教研部 P4模块专项解析截图

 用反证法证明质数的个数是无限的 (理综教研部内部模拟卷，书本 Example 4原题)

来源：理综教研部 P4模块教材截图

该题的重点是理清质数 Prime Number的概念，质数只能被 1和其自身整除，如上图解答所示，N要么是质数 (因为不能被其他数整除)或N中有一个质数因子不在已列出的质数里，由此和反设矛盾，原命题得证。

『与已知公理、定义、定理、公式矛盾』

用反证法证明有理数 (2021年 10月真题，书本 Example 3变形题)

来源：2021年 10月 P4模块真题

来源：理综教研部 P4模块教材截图

该题重点为理清有理数概念，有理数通常可表示为，where a and b are integers with no common factor。接下来证明中只需证明 a 和b存在 common factor即可得证。同理在 2023年 5月卷中，考察了证明无理数，方法如上，同理可证。

 用反证法证明数列的等差等比性 (2022年 1月真题，结合 P2知识点)

来源：2022年 1月 P4模块真题

该题结合 P2等比数列综合考察，重点是明确等比数列的定义：后一项与前一项的比值相等。然后根据三步法则写出正确解题步骤，如下所示：

来源：理综教研部 P4模块专项解析截图

 用反证法证明不等式恒成立问题 (2022年 1月、2022年 10月真题，结合 P1知识点)

来源：2022年 1月 P4模块真题

该题型是近年来常考题型，通常采用 P1 Completing the Square配平方推出与平方数大于等于零相矛盾，从而得证，然后根据三步法则写出正确解题步骤，如下所示：

来源：理综教研部 P4模块专项解析截图‍‍‍‍‍

以下列出未考察题型，均收录于理综教研部 P4模块专题练习册中，可根据以上解题逻辑尝试作答，具体详解可联系理综教研部 P4模块老师。一月考季大幕即将拉开，预祝各位考生能够在接下来的冲刺阶段完成充分的准备，以最饱满的状态迎接统考。