文章目录[隐藏]
今天我们来总结下 AMC 12 数论部分的知识点，希望能给大家的复习备考增加一些解题的制胜法宝。
一提到数论，很多同学会想到的是那些以数学家名字命名的定理。其中大部分我们在 AMC 10 的数论知识点总结中已经介绍过了。
整体而言 AMC 12 数论部分知识的要求和 AMC10 有很大重叠。
和每个抽象复杂的定理相比，更重要的是掌握每个定理在什么样的情况下被使用。与机械地记忆相比，这个过程更像是建立一个长久的条件反射。
下面我们来结合历年的例题汇总下 AMC 12 数论部分需要掌握的知识点。
1.质因式分解 （Prime Factorization）
2.贝祖定理 （Bezout's Lemma）
3.SFFT (Simon's Favorite Factoring Trick)
4.欧拉函数的应用（Euler's Totient Theorem）
1、质因数分解（Prime Factorization）
对于质因数分解，大家都不会陌生。在 AMC 12 中，利用质因数分解求解的题目也非常多。
在这一技巧的基础上，还经常结合计数去考察特定因数的个数。这里我们根据质因数分解的通式，给出奇因数和偶因数个数的表达式。
结合给出的公式，我们来看一下下面这道例题。
AMC12B 2017 Q16 （答案见最后）
⭐接下来要介绍的两个定理：贝祖定理与 SFFT 都和丢番图方程（Diophantine Equation）相关。什么是丢番图方程呢？
简单地说，就是一个变量或者多个变量的等式只包含整数系数，同时对变量的求解也只在整数范围内。
AMC 12 中很多求整数解的数论问题都可以找出对应的丢番图方程。
2、贝祖定理（Bezout's Lemma）
贝祖定理，也叫裴蜀定理。贝祖定理告诉我们两个正整数的线性叠加可以组成的最小正整数就是这两个数字的最大公因数。
以往 AMC 12 的考试中并未直接考察该定理。但是在很多题目中，利用贝祖定理的结论，还是可以排除很多选项。例如下面这道例题。
AMC12A 2006 Q14 （答案见最后）
3、SFFT(Simon's Favorite Factoring Trick)
这是一个在 AMC 中常用的针对两个变量的因式分解技巧。适用于 ‘xy+Ax+By‘ 这样的形式。
相似的，作为丢番图方程的一种，该技巧也是主要针对方程只有整数解的情况。
例如下面这道题，能不能找出对应的方程并按 SFFT 进行因式分解呢？
AMC12B 2008 Q16 （答案见最后）
4、欧拉定理（Euler's Totient Theorem）
在数学的多个领域都可以见到用欧拉命名的定理。数论中的欧拉定理也是用来解决同余问题的。
弄清楚欧拉定理，需要先掌握欧拉函数的定义。欧拉函数给出了计算小于或等于任意一个正整数 n 中和 n 互质数字个数的表达式。
在此基础上，欧拉定理给出了关于欧拉函数的一个同于性质。同时欧拉定理也可以看作是费马小定理的一般化形式。
最后，放上这道早年 AMC 12 的最终压轴题。一起来看看欧拉定理的妙用。
AMC12B 2006 25 （答案见最后）
答案以及详细解析
【竞赛报名/项目咨询请加微信：mollywei007】
