真题训练第6期大家做得如何？主要是考察代数运算，找规律，直角坐标系，三角函数等。
如果大家看了答案，自己思考之后还是不理解，那就来看看本期小编带来的答案解析吧！
第1题Four numbers are written in a row. The average of the first two is 21, the average of the middle two is 26, and the average of the last two is 30. What is the average of the first and last of the numbers? 四个数写在一行。前两个数的平均值是21，中间两个数的平均值是26，最后两个数的平均值是30。
问:第一个数和最后一个数的平均值是多少？
这道题目我们可以用代数运算得出答案。
假设四个数分别为A,B,C,D
(A+B)/2=21
(B+C)/2=26
(C+D)/2=30
也就是
A+B=42
B+C=52
C+D=60
那么我们可以用B表示所有的字母，即：
A=42-B
C=52-B
D=60-C=60-(52-B)=60-52+B=8+B
把所有项相加：
A+2B+2C+D=42+52+60=154
即42-B+2B+2(52-B)+(8+B)=154
B=0
因此A=42,C=52,D=8
那么第一个数A是42，最后一个数D是8，两者的平均值为（42+8）/2=50/2=25
所以答案为25。
第2题
If n is an even positive integer, the double factorial notation n!! represents the product of all the even integers from 2 to n. For example, 8!!=2·4·6·8. What is the units digit of the following sum?
如果 n 是一个正整数，那么 n!! 代表从 2 到 n 的所有偶整数的乘积。例如，8!!=2·4·6·8。下面式子的个位数字是多少？
2!!+4!!+6!!+···+2018!!+2020!!+2022!!
本题需要先找到该式的规律，之后的运算便简单了。
根据题目要求，我们可以得到：
2!!+4!!+6!!+···+2018!!+2020!!+2022!!
=2+2·4+2·4·6+···+2···2018+2···2020+2···2022
我们把前几项写出来看看：
2!!=2
4!!=2·4
6!!=2·4·6
8!!=2·4·6·8
10!!=2·4·6·8·10
有没有发现什么规律？我们再来往后写几个看一看：
12!!=2·4·6·8·10·12
14!!=2·4·6·8·10·12·14
16!!=2·4·6·8·10·12·14·16
可以发现，从10!!之后的数字都会包含因数10，因此它们的各位数字相加都会是0。
所以，我们求
2!!+4!!+6!!+···+2018!!+2020!!+2022!!，
只需要看10!!之前的数相加各位数字是多少即可。
也就是
2+2·4+2·4·6+2·4·6·8=2+8+48+384=442
因此，个位数字就是2。
第3题The midpoints of the four sides of a rectangle are (-3，0)，(2，0)，(5，4) and (0，4). What is the area of the rectangle? 一个长方形的四条边的中点是(-3，0)，(2，0)，(5，4)和(0，4)。问这个长方形的面积是多少？
这道题目同学们一定要画图画图画图！
首先我们在直角坐标系找出这四个点，分别用a, b, c, d来表示。
题目中说a, b, c, d是一个长方形的四条边的中点，那我们尝试经过这四个点做四条直线，相交得出一个长方形如下：
要想求得这个长方形的面积，我们可以求平行四边形abcd的面积加上四个直角三角形的面积。
首先根据直角坐标系，我们可以求出平行四边形abcd面积为底*高=5*4=20
注意，abcd是取长方形各边中点形成的，说明什么？
abcd同时也是菱形！
为什么？来看看菱形的判定条件：
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
我们看ab和bc是否相等：
ab=|-3|+2=5
bc²=（5-2）²+4²=3²+4²=5²，因此bc=5
所以abcd是一个菱形。
连接bd和ac，交点我们称作e，我们可以发现菱形abcd面积=三角形ade+edc+aeb+ebc的面积，
同时三角形Aad，Dcd，Bab，Cbc的面积分别和ade，edc，aeb和ebc相等。
一开始我们求出菱形面积为20，一个三角形的面积就是5，
ABCD的面积就是8个面积相等的三角形的面积，即
ade+edc+aeb+ebc+Aad+Dcd+Bab+Cbc，
所以ABCD面积为5*8=40。
解题小tips：
像涉及到直角坐标系和几何图形的问题，同学们一定不要想当然，要拿出纸笔画图，结果一目了然！
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