AMC12题选：把题目读透解题就完成了一半

有计划参加今年的AMC12的学生，从暑假开始就必须开始做备赛规划了。我近期将挑选几道AMC12真题做一些分析和点评，希望能对大家有所启发和思考。

我们在前三篇文章里分别选择了计数问题，数论问题以及多项式问题。本篇的题目如下：

设(a₁,a₂, …,a₁₀)是从1到10这10个整数构成的一个序列，使得对任意2≤i≤10，a_i+1和a_i-1中至少有一个出现在a_i前面的位置上。满足以上性质的序列一共有多少个？

在这个题目中，对序列的规则要求就只有一个，但这个规则的描述“有点绕”，我们很难迅速了解满足这个规则的序列应该呈现怎样的形式。

有少数题目的条件，如果直接按其当前的表述方式来使用是非常不方便的。此时，我们需要尝试换一种方便使用（且等价）的表述，或者把这个条件更深层次的本质挖掘出来，再运用到题目的解答之中。

无论是哪种做法，目的都是更深刻地理解题目的条件。达到这个目标的一个很重要的路径是“举例”，即构造几个满足条件的具体例子。

对这个题目，我们先假设取a₁=1，则对照规则，a₂只能取2。再进一步可知，a₃只能取3。如此类推下去，每个位置上的取值都是唯一的，即以1开头的序列只有一个。

再假设取a₁=3。此时a₂可以取2或者4。如果取a₂=4，a₃可以取2或者5。如果取a₂=2，a₃可以取1或者4。

通过上面两个例子的构造过程，我们可以发现一个特点：每一项都是紧挨着前面已有的项（不一定是前一项）来取值，形成一个“不断（向左和向右）延伸”的取值模式。这个特性当然是由题目中设置的规则所决定的。

为了分析这个特性对于满足要求的序列的数量的影响，我们来分析a₁=3的情形。3把其余的数“切割”成两组：{1, 2},{4, 5, 6, 7, 8, 9,10}。把这9个数安排在不同的位置上，使它们满足题目的规则要求。为此，我们要注意下面两个结论：

1. 同一组内的数有严格的前后位置关系。在前一组中，2的位置必须比1靠前；在后一组的所有数中，4的位置必须最靠前，5的位置必须比4的位置靠后，10的位置在整组中位于最后。

2. 不同组内的数的位置关系完全没有限制。比如2在前一组的数中位置最靠前，10在后一组的数中位置排在最后，但2在整个序列中的位置可以排在10后面，此时形成的具体序列是

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 2, 1.当然，我们还可以构造其他顺序的序列，例如

3, 4, 5, 2, 1, 6, 7, 8, 9,10或

3, 4, 5, 2, 6, 7, 1, 8, 9,10.

总之，就是把{2, 1}和{4, 5, 6, 7, 8, 9,10}这两组数，在不破坏本组的排列顺序的情况下，组合成9项的序列。组合的不同方式数恰好是从9个对象中选择2个对象的组合数。

记从n个元素中取m个元素的不同方式的数量为C(n,m)，则在本题中，以3开头的序列恰好有C(9,2)个。一般地，以k开头的序列恰好有C(9,k-1)个。例如，以1开头的序列有C(9,0)=1个。

因此，满足题目要求的所有序列按照排在第一位的数分类，从1到10共分成10类，每一类的数量依次为C(9,0),C(9,1), ...,C(9,9)。根据组合数的相关公式，这10个组合数的和恰好等于2⁹，即512。

高中数学已经具有较高的抽象性，即使是一些基本概念和性质的理解，往往也需要借助简单和具体的例子才能理解得更透彻。数学表述虽然是严谨的，但我们只有了解清楚它所刻划的实际图景，才能知道怎样去使用相关的概念和性质。并且，通过对照数学表述和具体例子，也有助于我们更好地掌握数学语言的运用方法。

有举例子的意识，并且懂得举出有价值的例子，帮助自己更快更深刻地理解抽象的数学表述，是衡量数学能力的一个指标。下面再给另一道真题，供大家思考和练习：

设x和y是两个不相等的非零实数，且满足等式

请问x和y的乘积是多少？

这道题跟方程有关，但不方便用常规的方程方法来解决。一方面，题目中只有一个等式，但有两个未知数；另一方面，题目并不要求确定每个未知数的值，而只需求它们的乘积。我们需要思考，怎样换一个角度来看待题目中的等式？