AMC12题选：质因数分解怎么做？

有计划参加今年的AMC12的学生，从暑假开始就必须开始做备赛规划了。我近期将挑选几道AMC12真题做一些分析和点评，希望能对大家有所启发和思考。

上次我们选择的是一道计数问题（见《【AMC12题选】计数问题中的斐波那契数列》），这次我们选一道数论问题。题目如下：

2²⁴-1这个数，有多少个两位数的约数？

在分析题目以前，我先说说AMC12的题目编排特点。从历年的AMC12真题可以看出，每套试题基本上遵循难度递增的规律。

前10题属于基本题，原则上应该都能做。特别是前5题，一般喝着茶哼着小曲儿就完成了。

11~15题有一定难度，但通常不会难到无从下手，步骤也不会特别多，不会涉及很复杂的计算过程。这5道题是整个考试中最关键的部分，可谓“兵家必争之地”——如果能全部拿下，加上前10题的分数，二等奖的分数线和AIME的入围线都触手可及了。

16~20题的难度进一步增加。要么是需要用到不常用的知识点（例如高次多项式的性质），要么是不容易找到突破口、难以下手，要么是计算步骤很繁杂，很费时间和精神。总之，每道题的分数都浸透着血汗。

21~25题是真正的“猪骨头”，没有足够锋利的牙齿是很难啃得动的。如果信心不足的话，拿1.5分离开应该是比较明智的策略。

对上面的总结，我需要做两点说明。

1. 这个难度分析是针对至少有实力争取二等奖的学生而论。实力不足的学生在11~15题就已经撞上“铜墙铁壁”了。

2. 绝大部分题目是遵循上面的难度分级的，但与此同时，每套题目中都存在难度“错位”的题目。如果每5道题为一个难度档次，我们不时会在第二档次的位置上（例如第9题）遇上第三档次的难度，在第三档次的位置上（例如第13题）遇到第四档次的难度，以及与这两种情况相反的状况。还有相对罕见但还是有机会遇上的情况，就是第五档次的位置上出现第三档次难度的题目——我猜这是出题人跟考生玩的心理战，要的就是考完以后拼命拍大腿的效果。

现在回到我们今天要讨论的题目，它出现在第15题的位置。这是一个很敏感的位置。如果前面的题目做得顺利，这道题就是最后一个相对容易拿分的题目。同时，在这个位置上碰到棘手的题目的可能性也很大，所以容易产生患得患失的心理——既想顺利拿下分数，又担心耗费太多时间影响后面10道题的答题。

题目言简意赅，并没有过多的条件。求一个数的约数，可用的方法也不多，通常都是利用质因数分解，这是肯定会首先尝试的路径。要说这道题的难点，主要在于2²⁴-1这个数比较大，是一个八位数。我们可以合理猜测它的约数很多，那么要不遗漏地列举所有（两位数的）约数就有一定困难。

另外还有一个经常被忽略的考虑因素，就是解题时间。AMC12每道题的平均解答时间是3分钟，对于第15题这个位置的题目，解题时间通常要控制在5分钟以内。

综合来看，这道题虽然不需要复杂的分析，考的都是硬功夫，但有很多技术细节要处理。要在5分钟内完成解答，对学生的基本功和心理素质都是很大的考验。

下面具体说一下解答过程。由于要分解的数是以幂的形式表达，所以分解过程实际需要的是因式分解的方法。多次运用平方差公式可得

2²⁴-1=(2³-1)(2³+1)(2⁶+1)(2¹²+1).即

2²⁴-1=7×9×65×(2¹²+1).现在还需要分解最后一项。根据立方和公式，

2¹²+1=(2⁴+1)(2⁸-2⁴+1)=17×241.因此，我们最终得到

2²⁴-1=3²×5×7×13×17×241.

根据这个质因数分解式以及约数个数的计算公式可知2²⁴-1一共有96个约数。所幸我们只需要列出其中的两位数约数，关键在于不能遗漏。这就归结到计数方法了。

我们可以使用分类枚举的方式进行列举。由于241是三位数，所以我们只需考虑由3,5,7,13,17相乘得到的两位数约数。首先列举乘积中包含17的约数，一共有3个：

17, 17×3, 17×5.然后列举乘积中包含13（但不包含17）的约数，一共有4个：

13, 13×3, 13×5, 13×7.再列举乘积中包含7（但不包含13和17）的约数，一共有3个：

7×3，7×5，7×3².最后列举乘积中只包含3和5的约数，一共有2个：

3×5, 3²×5.

所以2²⁴-1的两位数约数一共有12个。

最后总结一下。这道题不算难度很大的题目，考的都是硬基本功。题目本身是一个数论问题，但需要利用因式分解的方法得到质因数分解式，以及通过分类枚举的方式得到所有两位数的约数。也就是说，一道题目中融合了数论、代数和计数问题的知识点和方法。这类考察学生的综合能力的题目在数学竞赛中非常常见，但题目的设计也是很费心思的，优秀的题目不可多得。我认为这道题的设计就很精巧，值得我们多做回顾和思考。

顺着这道题的设计思路，我们很容易编出难度更大的题目，例如改一下需要分解的数的表达式、求三位数的约数等等。

最后，我再给一道与质因数分解有关的真题。题目如下：

对所有大于1的整数n，定义pow(n)为能整除n的最大质数的最大的幂。例如，pow(144)=pow(2⁴×3²)=3²。使2010^m整除下面的数的整数m最大是多少？

这道题出现在第25题的位置。几乎所有的第25题都很难，能在考试中做出第25题的学生可谓凤毛麟角。这道题看起来也确实吓人——虽然pow(n)的定义不算复杂（特别是题目中很贴心地举了个梨子），但要在短时间内并不容易“消化”透彻，因而也就不好做分析推理。

不过在我看来，这道题的难度应该介于第三档和第四档之间，换句话说，就是放在第三档题目中属于偏难的题目，而放在第四档题目中属于偏容易的题目。

话说回来，只要稍微有点难度的题目放到最后一题的位置上，都会对学生造成很大的压力。毕竟大脑已经高速运转了一个小时，剩下的时间都是以秒来计算，仍然能保持清醒冷静不慌乱的学生，必定都具备过人的能力。

暑假是开始备战AMC12的重要时段。因此，欧拉数学苑将在暑假期间安排一对一和小班的AMC12辅导课程。

其中，小班课程为3~4人规模，主要针对已经有参加AMC10的经验且AMC10的自测水平达到85分（考试成绩可以降低到75分）的学生，备考目标为AMC12的分数达到105~120的区间。

如果备考目标是120分以上，建议参加一对一的辅导课程。