有计划参加今年的AMC12的学生，从暑假开始就必须开始做备赛规划了。我近期将挑选几道AMC12真题做一些分析和点评，希望能对大家有所启发和思考。
今天选择的是一道计数问题。题目如下：
10个女人分别坐在排成一行的10张椅子上。在某个时间，她们同时站起来并重新选择座位。重新就座后她们仍然每个人坐一张椅子，并且每个人只能选择原来的椅子或与原来的椅子相邻的椅子就座。请问，她们一共有多少种不同的座位调整方式？
对于计数问题，我的个人心得是：几乎所有的计数问题都要分类计数。只要根据题目的条件设置找到合适的分类方式，就已经成功了一半。
寻找合适的分类方式的过程，非常考验我们对题目条件的理解和分析能力。有时候因为分析不够透彻，没有找到最佳的分类方法，因而导致解答过程冗长且复杂，很容易造成错误。
计数问题因其对背景知识要求少，便于考察学生的分析推理能力，而成为美、英、澳、加等国的数学竞赛中很受重视的一个题型，并且是贯穿从小学到高中的各个阶段。
对计数问题构造分类有两种不同的模式。
第一种模式，也是大多数情况下采取的模式，是选择其中一个要素进行分类。情况较复杂时，还需要嵌套分类，即在某些类别下再进一步分类。
第二种模式是递归分类，即分类后其中部分类别或所有类别都是同类问题的计数。这种分类模式的一个典型例子是《计数问题中的分类和递归方法》一文中的题目。本文中的题目则是另一个有趣的例子。
根据题意，每个女人在重新选择座位时，可以选择保持不动或换到相邻的椅子。也就是说，每个人都有三个选择——除了原来坐在两端的那两个女人，她们都只有两个选择。
尽管单独看每个女人，她要么有三个选择，要么有两个选择，但每个人的选择同时也会影响（更确切地说是限制）其他几个女人的选择，并且这种影响关系会传递下去。
为了构造分类，我们可以选择其中一个女人的位置选择作为分类依据。这样分类的好处是，在每个类别下，我们都只需考虑最多9个女人的位置选择。人数的减少意味着问题的简化。
应该选择哪个女人来分类呢？答案是——选择初始位置在两端的女人比中间的女人更好，因为前者只有一个方向需要关注。
从其中一端开始，按照座位顺序把10个女人依次编号为1~10，她们原本坐的椅子也相应编号为1~10。1号女人在重新选择座位时只有两个可能性。
1. 选择1号椅子。此时，2~10号女人只能各自在2~10号椅子中选择一个。
2. 选择2号椅子。此时我们来考虑2号女人。由于2号椅子已经被1号女人占了，所以她只能选择1号椅子或3号椅子。然而，假如她选择了3号椅子，其他女人（3~10号）都不可能选择1号椅子。也就是说，1号椅子只能空着。这不符合题目的要求。
根据以上分析，当1号女人选择2号椅子时，2号女人只能选择1号椅子才能保证换位后每个人仍然能坐一把椅子。与此同时，3~10号女人各自在3~10号椅子中选择一把椅子。
满足题目要求的任意一种换位方式，要么属于第一类（1号女人选1号椅子），要么属于第二类（1，2号女人互换座位）。
题目是针对10个女人（在规定的换位规则下）求换位方式的数量。事实上，对任意多个女人，我们都可以问同样的问题。记n个女人的换位方式数量为An。则第一类中的换位方式数量恰好是A9，因为9个女人（2~10号）要在她们坐的9把椅子里各自选择一把椅子。类似可知，第二类中的换位方式数量恰好是A8，因为8个女人（3~10号）需要各自在8把椅子（3~10号）中选择一把。
综上所述，我们得到了一个重要的等式关系：
A10=A9+A8.
不难发现，这个等式可以一般地推广到n（只需把上面的分析方法应用到n个女人的情形），即
An=An-1+An-2.
最后，容易求出A1=1，A2=2。也就是说，{An}恰好就是斐波那契数列。于是，本题的答案就是斐波那契数列的第10项的值。
数学题都是编出来的，而编题的水平各有高低。一道题可以从几个不同的角度进行评价，例如所考察的思维能力及深度（并不是越深越好）、趣味性、启发性，等等。这道题的妙处在于把斐波那契数列和一个具体问题联系起来，相当有趣，同时考察了分类计数的分析能力。
斐波那契数列通常在小学高年级作为课外知识引入。而在中学的数列学习中，斐波那契数列又是一个重要的例子。到了AMC12，一道与斐波那契数列有关的题目可以被列为第21题（AMC12的最后5道题通常是难度较大的题目）。由此，我们可以看到一个数学概念不仅仅是“知识点”，而是有不同层次的理解和分析思考。
暑假是开始备战AMC12的重要时段。因此，欧拉数学苑将在暑假期间安排一对一和小班的AMC12辅导课程。
其中，小班课程为3~4人规模，主要针对已经有参加AMC10的经验且AMC10的自测水平达到85分（考试成绩可以降低到75分）的学生，备考目标为AMC12的分数达到105~120的区间。
如果备考目标是120分以上，建议参加一对一的辅导课程。
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