2022年AIME考前知识点分析（一）

AIME与AMC相比，在广度和深度上AIME都是AMC的加强版，如果不去强化复习，大体上来说，AIME和AMC的分数可能会呈现如下的对应关系：

AIME的7和8是过渡题型，前6题只能说是给同学们热热身，相当于AMC 19~22的难度，然后AIME 9~15是难题阶段。

在前6题大家的差别不是很大，大家的差别都会集中在后面的10道题。就跟人生一样，人和人的差别在下半场，上半场只要不是无力乏天，下半场仍然有得追。

平面几何部分

在平面几何部分，AMC更多的偏传统几何，即用欧氏几何的传统定理来解决几何问题，而在AIME中，13~15的几何题，则需要考生具备极其灵活的思考能力—前提条件是要通过大量的刷题，来总结大量的常规量和常规模型，从而形成的“灵感”，这个在几何题中最常见。

简单举几个例子：相似扩大模型、13-14-15的三角形、AIME中建坐标系的3种条件、同顶的角平分线与中位线垂直平分模型、六大类四点共圆的模型、塞瓦与梅涅劳斯与斯图瓦特的向量替代定理，三角形的6心以及性质及其向量表现形式，等等。Let us see see 一些例子。

举例1：相似扩大

（所谓相似扩大，就是内切于A点的两个圆P和O，分别对应的里面的△ADE与△ABC，则两个三角形相似，且相似比为两个圆的半径之比）

特别的，如果BC正好与圆P相切，又会产生另外一条性质，即AF是∠A的角平分线：

（所谓相似扩大，就是内切于A点的两个圆P和O，分别对应的里面的△ADE与△ABC，则两个三角形相似，且相似比为两个圆的半径之比）

特别的，如果BC正好与圆P相切，又会产生另外一条性质，即AF是∠A的角平分线：

类似的相似扩大，也适用于Equiangular Hexagon模型的使用（等角的六边形，出现大量的相似，也是AIME特别喜欢考的一种类型的题目：首先强调画图，先画一个等边三角形，然后…）

如果有“两圆内切的相似扩大”的常规题型，那么下面这道题就比较容易了：

举例2：13-14-15必画坐标系

一般来说，利用坐标系（二维或三维）来解的题目，分为两大类：① 出现两对垂直关系；② 出现特殊角或特殊边：比如出现15°的整数倍的角；出现18°整数倍的角；出现5，7，8；出现13，14，15的三角形（画的时候14为底边，13和15是两边，14的高为12，而且以其作为y轴，以14的边作为x轴，则所有的点都是整数点、所有直线的方程都可以写出来，那么也就容易解决一切关系了）。

当然这不是绝对的，比如如下的题目，用传统几何的方法，很容易做出来：

但是如果你建坐标系：

建坐标系，则计算量将会非常大。其实这道题是归结到另外一个模型：即六大类四点共圆的模型。

所以，如果你学东西学的一知半解，你就会犯教条主义的错误，就像九阳真经练到第五重一样，进入到走火入魔的阶段，如何度过这个阶段？继续第六重到第九重的训练，见天地与众生，然后才能真正的克服自己的缺陷。

函数部分

接下来我们看一下函数部分的例子（函数部分AIME共15个知识点）。比如：

举例1：韦达定理

（有些15题，是韦达定理搭配复数的高次方程，或者韦达定理搭配解析几何）的使用，AIME就要比AMC要考察的内容深度和广度要大，而且对计算能力要求很高，比如如下的题目：

初级难度：

中级难度：

高级难度：

以上所有这些题，离不开以下公式，也就是说是下面这些公式的灵活运用。

举例2：跨整数分析

我们先看去年的一道考题：

这道题跟以下这两道题其实都是一个知识点—跨整数分析