2023欧几里得数学竞赛考题与考点点评

3-4月份除了offer满天飞之外，许多国际赛事也来到了检验成果的时刻，4月上旬有数学托福之称的欧几里得落下了帷幕，参加考试的小伙伴对这次的试卷有什么样的感受呢？

整体&难度分析

从整体上来看，风格一如既往，1-8题主要是课内内容加少量的数论，第9和10题竞赛氛围较浓。

从难度上来看，没有太大变化。前4题是基础题，考察基本的方法与公式，第5题和第6题难度适中，有一定的灵活性，第7题和第8题涉及的知识点和方法不难掌握，但对于观察能力，灵活性，和方法结论的熟练度要求更高，第9题和第10题则是考察了构造计数模型、构造多项式、数论等内容。

知识点考察分析

从知识点的考察上看，其实比较友好，首先没有涉及立体几何这种接触较少的知识点，数列（第3题(c)问）、直线方程（第2题）、解三角形（5题(b)问）、代数与数论（第1题，第3题(a)(b)，第4题）也不难，需要重视的是第6题平面几何、第7题(a)问计数与概率，对于相关知识和方法的掌握有一定的要求，另外今年的对数类方程和其他类型方程组不算简单，第7题(b)问求方程组整数解，涉及数论，第8题考察的对数方程带有根号，两道题都需要敏锐的观察力，否则会被题目吓到，无人入手。

每题的具体考点分析

第1题是代数，主要考察了平均数、方程（组）求解；

第2题是解析几何，考察的是直线与一次函数；

第3题考察了正约数之和、连续整数的和、等差数列，即使没有学过相关的方法技巧，也不难处理；

第4题是代数问题，考察的工程问题（分数）与增长率，可用列方程的方法求解；

第5题考察了二次方程根的存在性，解一元二次不等式，正弦定理与余弦定理解三角形，题目不难；

第6题考察了平面几何中的相似与面积比、网格中的距离计算，(a)问侧重计算，(b)问侧重处理方法，可以根据擅长的方法从平面几何或解析几何入手；

第7题(a)问考察计数与古典概型，属于基础题型，(b)问考察方程组整数解，需要能看到可以因式分解，将问题转化为普通方程组；

第8题(a)问考察勾股定理与完全乘方数，需要一定的数论知识，(b)问考察对数方程，涉及根号，需要能看出换元后有完全乘方，后续遇到的是绝对值不等式，可以用三角不等式或者分类讨论解决，此问难点在第一步的换元去根号；

第9题是构造模型，结合了数论与计数，可以通过找规律入手，如果见过同类的问题是最好的，后续计数的处理也是有很强的技巧性；

第10题是构造多项式与数论结合的题目，涉及到高斯函数，也是有很强的技巧性。

今年的欧几里得数学竞赛相比以往，在中档题目位置比较友好，几何方面没有太大难度，比较利好代数好、基础扎实的同学。从难度、灵活性、竞赛内容的考察上来说，今年的题目也符合欧几里得数学竞赛的一贯的特点，不同层次的学生都可以有所发挥。