2023年美赛MCM/ICM A题赛题解析！

赛题A

问题背景翻译

不同种类的植物对压力的反应方式是不同的。例如，草原对干旱非常敏感。干旱发生的频率和严重程度各不相同。

大量观察表明，不同物种的数量对植物群落在连续几代遭受干旱周期时如何适应中起着作用。在一些只有一种植物的群落中，随后几代植物不像四种或更多种植物群落中的个体植物那样适应干旱条件。这些观察提出了许多问题。例如，一个植物群落从这种局部生物多样性中获益所需的最低物种数量是多少？随着物种数量的增加，这种现象是如何扩大的？这对植物群落的长期生存能力意味着什么？

要求翻译

考虑到干旱适应性与植物群落中物种数量的关系，你的任务是探索并更好地理解这一现象。具体来说，你应该：

1、开发一个数学模型，预测一个植物群落在各种不规则天气周期下如何随时间变化。包括降水充足的干旱时期。该模型应考虑干旱周期中不同物种之间的相互作用。

2、探索植物群落和更大环境的长期相互作用方面，你可以从模型中得出什么结论。考虑以下问题：

（1）植物群落需要多少不同的植物物种才能受益，随着物种数量的增加会发生什么？

（2）植物群落中的物种类型如何影响你的结果？

（3）在未来的天气周期中，干旱发生的频率更高、变化范围更广会产生什么影响？如果干旱发生频率降低，那么物种数量对总族群的影响是否相同？

（4）污染和栖息地减少等其他因素如何影响你的结论？

（5）你的模型表明应采取哪些措施来确保植物群落的长期生存能力，以及对大环境的影响？

赛题A分析

先看问题背景：不同物种数量的植物群落在连续几代干旱的循环中发挥着作用。这说明不同植物物种数量的群落在干旱中有不同的适应性，即生物多样性对严峻环境的适应性表现。那么很明显，本题的目的就是为了探寻生物多样性（植物物种的数量）对干旱严峻环境变化下的抵抗模型。想到这儿，我们很自然的便会联想到高中生物就学过的“S”型曲线，即Logistic模型。

问题1：预测植物群落在各种不规则干旱环境下随时间的变化，包括降雨量本该充足的干旱时期，我们还应该考虑到不同物种之间的相互作用。

很显然，在问题1所建立的模型中，我们需要考虑天气和物种之间的相互作用。天气即种群的外因，物种之间的相互作用即种群的内因，这是需要考虑种群内外因两个方面的数学模型。这里我们可以考虑元胞自动机与Lotka-Volterra model两种模型。

对于元胞自动机而言，我们在众多的类型中选择的显然要是带有周期性的元胞自动机模型，因为题目中已经很清楚的说明了天气的循环变化是存在一定规律的，即具有周期性。但我们也不能简单的考虑周期性，因为题目中还说“在本该降水量充足的天气突然干旱”也就是说，这个循环是有一定概率发生突变的。这里我们将天气因素引入元胞自动机模型中需要考虑突变的影响。但元胞自动机撰写论文的难点在于没有非常明确的数学表达式。于是我们不妨结合一下的模型。

对于Lotka-Volterra model而言，这是可以用来描述物种之间竞争关系的动力学模型。

其中

表示第t时刻第i种群的密度，

表示不同种群之间的作用因子，反映了物种之间的竞争与合作关系，而b则反映种群的增长变化。

考虑不同环境下的周期特征，我们可以将a，b视为两个周期函数。用此来反映环境变化情况下的周期特征。

那么问题来了，我们该如何刻画环境变化的周期性特点呢？要知道影响环境变化的因素有很多，我们可以通过分析某干旱地区一段时间内环境的变化来反映环境的变化，通过一些机器学习模型的拟合来得到时间序列波动模型，比如神经网络等。

这里放一个网站方便大家找数据：https://droughtmonitor.unl.edu/

但这样的话，我们对环境变化的突变情况就难以控制，于是我们不妨采用马尔科夫链的思想，通过概率的方法对天气的周期进行模拟，这样只需要对不同天气改变的概率进行调节，天气的变化情况也就受我们可控了，同时，我们也能更清楚的描述“在本该降水量充足情况下突然干旱了的情况”。但似乎好像还是有点不足，虽然对于外因而言我们对这句话进行了很好的阐释，单对于内因而言我们并没有进行好的解释。

进一步思考生物学的内容，植物的生长存在着某种“前瞻性”，在干旱到来之前，植物就会知道这个时候该干旱；在降水到来之前，植物就会知道这个时候该降水。即植物的生长存在着某种惯性。我们可以考虑植物生长时的惯性，引入“惯性因子”来丰富我们的模型，而惯性因子显然会与天气的突然变化有关。

通过引入马尔可夫链的Lotka-Volterra model与一开始说的元胞自动机有异曲同工之妙，都将难以定量表述的天气变化通过概率的描述变得可解。

此图反映在某个地区情况下不同物种的数目变化。运用的即为Lotka-Volterra model。

问题2：探索植物群落的适应性与干旱条件的关系。

问题1的模型已经建立，我们只需要在这个基础上进行修改就行。

对于群落需要多少个不同的物种才能收益，这是一个难以定量化描述的问题，但应该是一个开放性模型的问题，我们可以以物种的数量作为变量，通过一个地区内生物量的变化多少来反映群落的收益情况。

对于群落物种类型的影响，我们需要的便是引入物种类型分类。可以人工按植物的数目，质量来分，也可以用一些分类模型来分。通过不同的植物类型，改变物种变化的动力学模型中的因子值类进行预测，并对不同结果进行比较，以此得出影响。

对于干旱的变化，我们这儿可以考虑提高或者降低转移到干旱条件下的概率，改变状态转移矩阵的值来反映天气的变化。对于元胞自动机的模型也可以同样考虑。

对于污染与栖息地减少现象，则是环境变得更加恶劣的表现。可以查阅资料，增加环境的影响因子得到物种的变化趋势，以此来与原来的情况进行比较。

对于应该做什么，我们需要考虑上面的几种因素（诸如环境、污染等）来进行讨论。通过影响的大小以此来给出建议。