2021年剑桥STEP数学考试备考指南

1. 官方真题和答案

扫描或识别下方二维码，通过《牛剑备考｜剑桥STEP》页面下载STEP 2和STEP 3历年真题合集(PDF)，或通过剑桥大学官网下载STEP真题和答案。

2. 官方推荐解题类、教材类读物

No.1

How to Think Like a Mathematician

这本书由剑桥大学出版，讲解了基本的数学思想、逻辑推理和证明方法，大部分章节配有少量的练习题，尽管封面推荐作为本科数学专业学生教辅，但也同样适合备考牛剑数学专业的高中生阅读和学习。

No.2

Solving Mathematical Problems

这本书由牛津大学出版，全书不到100页，介绍了数学解题的一些基本策略，列举了一些浅显易懂的例题，例题范围涵盖数论、代数、欧几里得几何、解析几何等知识领域。

No.3

Advanced Problems in Mathematics

这本书也是剑桥官方推荐的，适合于STEP备考的解题类读物。要是这些书还不能满足，可以挑战下面这本书。

No.4

A Concise Introduction to Pure Mathematics

这本书里面有些例题、方法基本就是STEP试题的原型。

如果上面这些资料还觉得不够，可以参考另一篇文章里更多官方推荐读物：

3. 同级别数学竞赛题

推荐英国数学奥赛British Mathematical Olympiad。BMORound 1全是简答题(2020年受疫情影响，题型改为选择题+简答题)，有些题跟剑桥STEP出题风格类似，里面关于代数、数列、几何的题可以拿来练练手，对备考剑桥STEP有一定的帮助。但需要注意的是：高中数学竞赛题一般不涉及微积分，而剑桥STEP必考微积分，且占比不小。

对于10年级(G年级)、11年级(AS年级)上学期就开始准备STEP的学生而言，美国数学竞赛AMC10和12、英国数学挑战赛UKMT的IMC和SMC也都是非常值得挑战的数学竞赛。

备考意义

备考STEP的意义有哪些？

1. 提升英国G5大学申请的竞争力

毫无疑问，在如今因为疫情各大考试局取消A Level大考而改为评估的大背景下，A Level数学和高数的评估成绩A*的说服力大不如从前。而2021年剑桥官方宣布STEP再次面向所有学生开放，无疑对众多希望申请牛剑、G5大学、期盼能取得更有说服力的考试成绩的学生来说是一个重大利好：在STEP 2和STEP 3考试中取得等级1以上的成绩在证明学生数学学术水平方面极具说服力！

建议各位希望申请牛剑的学生尽早准备、积极备考STEP，从而提升申请英国名校时的竞争力。

2. 养成良好的数学思维方式和书写习惯

STEP试题注重考查学生的数学思维方式和习惯。因为思维方式不能很好的与STEP要求的方式匹配，会导致答题困难，而书写习惯不好、推理过程不严谨会导致得分不高，而解答过程详略不当会浪费答题时间。具备优秀数学素养的学生会很容易适应STEP试题、轻轻松松取得高分。所以，STEP指导老师会指导初学STEP的学生在初始阶段养成良好的数学思维方式和书写习惯。

3. 为牛剑、帝国理工面试做准备

牛津、剑桥的数学、计算机类专业的部分面试题难度达到甚至超过了STEP考试的难度，更是远远超过牛津MAT考试的难度。不少同学认为如果只申牛津或帝国只需要考MAT即可，殊不知真正能进入到面试环节的很多学生都早早着手STEP备考，已经经过了大量训练并适应了面试题的难度，至少能更从容的应对与STEP难度相当的面试题。而尽管帝国理工面试题难度远不如牛剑面试，但最终计算机专业给出的录取仍然会带STEP 2和3的成绩作为录取条件。所以，即便不在11年级或AS年级参加STEP考试，但能提前准备STEP也是非常有必要的。

4. 体验剑桥大学经典的数学考试方式

STEP考试与剑桥大学数学专业的考试风格一脉相承，尽管全卷均为简答题，但试题各个小问的难度层次分明，且提问极具启发性。STEP试题往往通过前面几个小问的设计引导学生一边尝试一边学习新的解题思路和方法，然后在最后一问设置极具挑战性的问题，考查学生是否能顺利将前面习得的解题方法应用在新的情景中。这种考试方式很容易鉴别学生学习数学的潜质和基本的数学素养。

数据分析

历年STEP成绩数据分析

下面给出近十年STEP 2和STEP 3等级S、1和2的分数线和各等级人数百分比。

STEP 2各等级划分标准和各等级人数百分比

年份	等级S	占比(%)	等级1	占比(%)	等级2	占比(%)
2011	83	10.0	62	20.9	49	21.9
2012	91	9.0	72	16.7	60	16.2
2013	100	8.0	79	16.8	67	13.5
2014	95	6.7	74	16.2	64	10.7
2015	94	7.9	68	20.0	60	10.0
2016	95	8.0	74	18.5	65	10.8
2017	101	6.3	80	15.5	69	14.7
2018	100	7.7	77	17.9	65	13.8
2019	90	7.5	68	17.3	55	14.0
2020	77	9.3	54	21.5	42	17.6
平均	92.6	8.0	70.8	18.1	59.6	14.3

从STEP 2近十年的成绩统计图可以很直观的看出：

• 近4年STEP 2各等级分数线下降明显，尤其是遭受疫情的2020年，并没有因为考试人数减少、分母增加而导致分数线上涨，反而分数线降至近十年最低值。等级S的人数占比基本稳定在8%左右，而等级1的人数占比基本在15%-20%之间浮动，这意味着基本只有成绩排名前25%左右的学生是可以顺利将带等级1条件录取的剑桥offer转正。

• 等级1的分数线基本在70分上下，这意味着学生要能做对6道题中的4道以上。考虑到STEP 2的题目相对STEP 3更难，这对绝大多数学生来说都是极其具有挑战性的。这也能说明为什么只有25%左右的学生可以顺利拿到STEP 2等级1的成绩。

STEP 3各等级划分标准和各等级人数百分比

年份	等级S	占比(%)	等级1	占比(%)	等级2	占比(%)
2011	91	14.9	65	24.8	52	18.1
2012	84	12.7	65	26.5	53	20.4
2013	85	12.3	63	24.3	48	20.1
2014	81	11.0	59	24.4	48	16.8
2015	88	11.8	65	25.5	54	14.1
2016	88	11.0	64	25.6	55	13.5
2017	95	10.8	69	24.0	57	16.1
2018	87	10.2	59	23.0	49	15.7
2019	77	11.4	57	24.9	48	47.1
2020	88	11.6	67	26.6	53	20.1
平均	86.4	11.8	63.3	25.0	51.7	20.2

从STEP 3近十年的成绩统计图可以很直观的看出：

• 各个等级的分数线有波动，但是没有明显的下滑或者上升趋势，这也与STEP 3的命题难度相对稳定有关。

• 等级S的人数占比基本稳定在11%左右，而等级1的人数占比基本稳定在25%左右，也就是成绩排名前36%左右的学生可以顺利拿到STEP 3等级1。

• 等级1的分数线基本在65分上下，这意味着学生要能做对6道题中的3道半以上。STEP 3的考点覆盖进阶数学全部内容，对进阶数学知识和涉及的公式运用熟练程度要求都要高不少，所以相当一部分学生来说也是很有挑战性的。

再将STEP 2和STEP 3的成绩数据进行对比，不难发现：

• STEP 2的等级1和2人数占比均少于STEP 3，意味着STEP 2能否取得等级1或者等级2以上的成绩，将成为剑桥或帝国理工等大学的offer转正的关键因素。

• STEP 2的等级1和2的分数线也比STEP 3的低不少，说明STEP 2的题整体上更难，更不好拿高分。

所以，如果各位认为STEP 2比STEP 3考的知识范围小，所以题目就比STEP 3要简单，就有点想当然了。事实上，要在STEP 2上取得等级1的成绩，需要付出的时间和精力并不会比备考STEP 3少，甚至可能更多。这也是为什么研发团队在设计STEP课程时会突出STEP 2训练量的占比，以平衡学生在备考STEP 2和STEP 3的时间和精力分配，做到尽可能的科学合理、高效备考。

备考方法

剑桥STEP备考方法

1. 需要学完A-Level数学和高数吗？

必须学完A-Level数学的全部内容。STEP 2要求AS进阶数学的内容，而STEP3 则进一步要求A2进阶数学的内容。STEP指导老师并不建议学生在学完AS或全部进阶数学后再开始备考STEP，一方面是学完进阶数学后通常备考STEP时间非常紧，另一方面进阶数学大部分知识学完容易遗忘，而备考STEP本身可以促进进阶数学的学习。

因此，强烈建议进阶数学的学习和STEP的备考同时进行。

注意：不同考试局的A Level数学、进阶数学大纲与STEP大纲略有差异。

2. 备考STEP需要多少时间？

不同学生的数学基础差别较大，剑桥官方建议备考STEP时间不少于6个月。但根据指导老师进几年指导的学生实际情况来看，多数都要9个月以上才能取得等级1以上的成绩。

对于没有学高数和数学竞赛基础的学生，老师们建议备考时间12个月以上，期间还可以同步参加各类数学竞赛以促进STEP的学习和备考。

对于学过高数且有数学竞赛基础的学生，一般建议准备STEP2和3的时间不少于6个月，这样更有把握取得等级1甚至S。

3. 要刷历年真题吗？

Yes。真题一定要刷，但不要盲目刷。

有学生一开始就刷最近两三年的真题找感觉，等到临考的时候就会发现没有近两年的题用来模考了。

另外，STEP每套题才12-13道，覆盖的知识点不到整个大纲的1/10。即便有时间刷完近十年、近二十年的真题，也未必能覆盖考纲所有的范围，何况2019年STEP大纲进行了大幅修订，知识点有增有减。单纯的刷历年真题，不但刷不到新知识点，刷到不考的知识点只会浪费大量时间、降低备考效率。

STEP题很难，但又不是所有的题都难。不像A Level、AP考试和数学竞赛的题目难度随着题号增加而增加，STEP的题目难度与题号没有必然联系，完全是随机的。有几年第1题看起来简单实际又难又浪费时间，坑了无数学生。题号在中间的往往会有几道简单题。备考时刷这种难度不按规律出现的套题的效率非常低。

最后，官方真题答案有极个别错误(牛剑备考课程研发团队在教材中已经修订)，还有更多的STEP 2和STEP 3的题答案解析不详细、不提供图像，学生自己刷题看答案解析看不懂会浪费很多宝贵的备考时间。

综上，按历年真题顺序或成套刷题很难摸清考试命题规律和考查要点，不但效果不好还浪费时间。建议在经验丰富的专业教师指导下进行备考，有效利用时间、提高备考效率和效果。

4. 体验剑桥大学经典的数学考试方式

按照知识点系统梳理、逐步提升难度是比较科学的备考方法。尤其像逻辑推理、计算熟练程度、解题思路无法通过短期刷题提升，需要循序渐进的积累和提高。

如果没有老师指导、希望自学，建议先完成前文推荐的官方Support Programme的assignments，找找感觉。然后再对照剑桥STEP 2021版大纲的知识点选题、刷题。

5. 考前模考

在模考阶段再按照一定的节奏刷最近两到三年的真题，感受近几年STEP的命题趋势、适应STEP考试难度。

考前3-4周安排刷一套真题，以近三年为宜，严格按照考试要求计时并对照答案判分，掌握自己水平、查找还存在的知识漏洞。

考前2周安排刷第二套真题。

考前3天左右再安排刷去年真题。

每次模考后一定要及时总结，针对知识漏洞有针对性的练习巩固。

6. 如何进行系统训练？

经过教研团队多年的研发所总结出的系统训练方式可以简单概括为：

数学知识、思维方式、计算速度、解题方法和书写习惯并重

• 无论是A Level数学、进阶数学，还是AP微积分、IBHL数学，都存在知识点不能完全覆盖STEP考点的问题，尤其是AP微积分和IB HL数学知识点与STEP大纲重合度不到70%，所以补充学习STEP的“超纲”内容是整个STEP备考过程中的重要一环。

• 学习和训练批判性的数学思维方式、提高逻辑推理能力和推理的严谨性。研发团队在教学实践中发现不少学生非常聪明但思维方式跳跃、逻辑推理不严谨，导致多数题目会做但得分低，经过老师们系统的、有针对性的调教后，这方面问题会得到明显改善并有效提高STEP考试成绩。

• 现在国际数学课程都允许使用计算器，尤其是学习美高、AP课程的学生，更是依赖图形计算器的强大计算、绘图功能，直接导致部分学生过于依赖计算器，计算熟练程度不够、解题速度慢。而STEP对计算的要求远远超过A Level数学和进阶数学，且不允许使用计算器，因此在学习和备考STEP期间老师们会严格禁止学生使用计算器，即便有些STEP题计算量非常大、非常耗时，算到手酸也也必须手算！

• 通过STEP部分题目自带新解题方法介绍，只要能细心观察、反复揣摩题目的意图就很容易习得新的解题方法。而在老师引导下回顾、品味题目的时候，学生往往能在数学思维方式上得到提升，通过解题方法的积累而不断提升数学素养，这也正是牛津、剑桥大学所最为看重的一个方面。

• 经过对不少具有数学天赋的学生进行观察，不规范的书写往往成为他们取得STEP高分的拦路虎，所以针对这部分学生，老师们往往是先从培养书写习惯入手，手把手有针对性的指导如何书写解答过程、如何严谨的表达逻辑推理过程。

在学习STEP课程、备考STEP的每一个学生的个性和天资都不完全一样，所以在制定系统训练方案的时候，都是由老师经过一段时间的指导之后不断的调整，以做到一生一案，让每个学生都能花费更少的时间得到最好的学习效果，并取得与其实力相匹配的STEP成绩。

选题策略

剑桥STEP考试选题策略

STEP考试形式与剑桥大学数学专业本科考试常见的形式一致，但与常规的A Level、AP考试和数学竞赛差异较大。关于STEP考试形式参见《全面解读｜剑桥STEP数学考试【2021】》

使用讨巧的选题策略、做到扬长避短，无疑能有效提高STEP考试成绩。选题策略因人而异，很难通过简单几句话概况，也不是一朝一夕、通过刷几套题就能悟出来的。

为什么说选题策略因人而异？

• 每个学生的数学水平和天赋千差万别，有的学生有竞赛基础，逻辑水平强、数论知识储备多，而有的学生只学过课内知识，没有专门准备过数学竞赛

• 每个学生的习惯和个性特点不同，有的学生思维敏捷但书写和表达弱，有的学生书写规范、听老师话但缺乏逻辑训练

• 每个学生所学的数学课程体系、知识储备也不尽相同

• 备考时间长短不同、刷过的STEP题量不同，从而对STEP试题的熟悉程度不同

• 从考查知识点方面来看，STEP命题没有规律，每年考题覆盖考纲的1/10都不到

• 有的学生提前1年多准备，有的学生拿到offer离考试还有3个月才开始准备

把上述因素都考虑进去之后，很难整理出一个“万能选题策略”给所有学生。因此，指导老师都是针对每个学生的特点，在不断的互动指导过程中引导学生自己总结出适合自己的选题策略，并在考场上能应对考试的各种变化、将自身优势发挥到极致、取得尽可能高的STEP成绩。