Precalculus微积分探索之End behavior of Polynomials

极限是我们学习微积分的重要基础，今天带大家学习一个简单的概念 — End behavior of polynomials。

首先，来学习一下词汇：

polynomial 多项式

the degree of polynomial多项式的次数

function函数

linear function 一次函数：is of the first degree

quadratic function 二次函数：has degree 2

cubic function 三次函数：has degree 3

constant 常数

coefficient 系数

infinite 无穷

even 偶数

odd 奇数

什么是polynomial function？

A polynomial function of degree n can be written in the form:

,

那么，什么是End behavior呢？我们可以理解为“终端趋势”，End behavior of polynomials即当x趋向于正/负无穷时（positively or negatively infinite），多项式（polynomial）所趋向的值。

先说结论：

Every polynomial whose degree is greater than or equal to 1 becomes infinite (positively or negatively) as x does, depending on the sign of the leading coefficient and the degree of the polynomial.

接下来我们结合图像来理解：

1.Quadratic function 二次函数

由图像可知，当a（leading coefficient）大于0时，

x → +∞，y → +∞

x → -∞，y → +∞

当a（leading coefficient）小于0时，

x → +∞，y → -∞

x → -∞，y → -∞

2.Cubic function 三次函数

当a（leading coefficient）大于0时，

x → +∞，y → +∞

x → -∞，y → -∞

当a（leading coefficient）小于0时，

x → +∞，y → -∞

x → -∞，y → +∞

3.Quartic function四次函数

当a（leading coefficient）大于0时，

x → +∞，y → +∞

x → -∞，y → +∞

当a（leading coefficient）小于0时，

x → +∞，y → -∞

x → -∞，y → -∞

以上我们不难看出（大家感兴趣可以画一下五次函数的图像），多项式次数（the degree of polynomial） 的奇偶性和首项系数（leading coefficient）的正负决定了函数图像的终端趋势，我们可以归类为：

1.If the degree n of a polynomial is even（偶），the arms of the graph（图像的两端）are either both up（a > 0）or down（a < 0）；

2.If the degree n of a polynomial is odd（奇），one arm of the graph is up and the other is down：

when a > 0，the right arm of the graph is up

when a < 0，the right arm of the graph is down