2022 AMC10/12竞赛真题题目全解析！

AMC10/12 A卷在中国区的考试一结束，机构的竞赛大佬们就立刻开始了奋笔疾书！

在赛题分析中我们发现，今年2022年的AMC10/12 A卷难度上升、考点又又又新增了！难怪焦急考试结果的学生家长已经爆满了...

一起来看看今年都有哪些新变化？出题又有什么新趋势？

AMC知识点总结

增加知识点

不定方程的特殊形式佩尔方程（Pell）

今年的12A和10A都有点难度，想要拿130+的高分还是不容易的。特别是今年12和10的A卷都特别喜欢考不定方程，去年的A卷独爱函数和几何。

今年不定方程的这个考点，除了常规考察之外，增加了二元二次不定方程中的佩尔方程形式（关于佩尔方程的详细知识可以参考潘承洞主编的《初等数论》）。

佩尔方程是一个高级别的竞赛比如HMMT、PUMAC等会考到的考点，这是AMC历史上第一次不再考察常规的因式分解（包含双十字）、放缩、配方、同余、主元法（△法）、试根法，而是考相对比较生僻的佩尔方程。

佩尔方程是指如下的方程：

我们来看一下涉及佩尔方程的几道题目解析：

题目1：10A-25题

题目：

答案：

这道题在求解的过程中有一个坑，一旦不注意，就死活都算不出来，是这个点：

到了下一步，就到了不定方程求解，虽然这里满足佩尔方程的形式，但是因为是求初始值（x1，y1），所以只能用其他方法来求。我们可以使用常规方法：主元法（△法），然后再试根：

虽然这个考场上有点折磨人，但是只需要计算8次就还好。如果计算的次数很多次，这时候就需要用佩尔方程来进行计算了。

题目2：12A-16题

题目：

答案：

题目3：12A-25题

题目：

答案：

这道题的难度首先在于先利用几何知识处理成代数式（掌握“设角不设边”这个几何思维），变换成代数式之后，又变成了一道不定方程的题目：

函数中的最值问题考的比较灵活

常规的最值问题一共有6种方法，这是在我课堂基础班里专门讲过的（利用函数单调性、基本不等式、划归为二次函数、化归为耐克函数或其他特殊函数、换元、数形结合等常用的6种方法），在冲刺班里，我们又专门学习了几何中最值问题的处理的两个方法：

1.要么用几何图形画出来；

2.要么用代数式求出来。

对于复数的题目，AMC 12之前是很少考察最值问题的，在HMMT、PUMAC、BMT等S级比赛中，经常碰到复数的最值问题。一般来说，复数的最值问题，都是用几何方法解决的，所以方法还是两个：

1.要么用几何图形画出来；

2.要么用代数式求出来。

题目1：12A-13题

题目：

答案：

如果备考过S级比赛，或者去年就备考过AIME考试，这种题目是不陌生的，对于第13题，基本无法用代数式求解（当然你可以尝试，而且你得增加一项数学工具—复变函数积分）

用代数式求解：

如果你学习过复变函数积分，你是可以处理上面这个积分的，但是这绝对不是这道题在考场上正确的处理方法。正确的处理方法，应该是用几何意义来处理问题：

之前的复数题目，用几何意义来解题目的比较少，我们从AIME和其他S级比赛中选取一些题目，考生可以加以训练。

题目2：12A-22题

题目：

答案：

虽然这道题是22题，这道题反而是简单题，因为它非常常规，用代数式求解出一个f(c)的代数式，然后利用我们学习过的6种常规方法进行求解即可，关键是对方法的熟练运用：

题目3：12A-17题

题目：

答案：

这不是一道函数最值的题目，是关于函数不等式求解的题目，但是解决思路还是一致的。但是这道题想要做对，需要对三角函数这块极其熟练，比如2倍角、3倍角公式；三角函数换元成二次函数等，不然在考场上可能做不完或者做不对。

对同余的考察偏向于灵活应用性考察

之前年份同余的题目，更偏向于同余方程7条基本规则的使用以及常规的基本例题题型，比如如下的题目：

但是现在的题目则更倾向于应用性的考察（与数列、方程等结合在一起考察），这个难度显然比之前要大很多：

题目1：10A-19题

题目&解析：

题目2：12A-18题

题目&解析：

题目3：12A-21题

题目&解析：

考察对排列组合的考察：常规题型考察

对于排列组合—分类讨论、排列组合—操纵排列顺序都是常规题型考察，平常训练的比较多，这次考试没有新意，基本是老生常谈。

题目1：10/12A-24题

题目&解析：

掌握好分类讨论的实质：相互独立、不重不漏，基本上不会出错。

题目2：10A-14题

题目&解析：

这是一道错误率特别高的题目，虽然是一个第14题，很多同学会没读懂题意；另外就是有些同学会思考的过于麻烦，从而无从下手；还有些同学是在处理3、2、1时会犯错误。以下详细写了具体的思考与计算的过程：

整体来看今年的A卷，无论是10A还是12A，难度比较大，计算量比较大，同时对细节要求也非常高（特别是前10题出现的排列组合的题目），个人感觉今年的晋级线可能比去年还会再低。

这两套题目中80%题目还是常规的题目，所以基本功扎实的同学，这次分数依然会非常出众。

对于下周要考的B卷，大家还是夯实基础知识，对于新的知识点，如果以前没学习过的，就不要再去学习了；不要再做新题，就把平时的笔记、错题本拿出来好好复习一下。同时不要因为AMC考试，耽误了你学校的期中考试。A卷对不定方程、数论考察的比较多，而且比较新，考B卷的同学可以着重看一下。

今年题目中新出现了几个之前没出现过的考点：不定方程的佩尔方程类求解、复数与几何结合在一起、复杂的函数求最值，有些题目已经达到往年AIME的难度。AMC的准备不能只是简单的上一个学期的课就可以考一个125+的分数，而是切实需要准备一年左右的时间，同时对各种数学工具、数学思维极其熟练的掌握。