我们知道如果整数a和b的乘积为c，则a和b都是c的因数或者约数，也可以说c能够被a或者b整除。而n的阶乘本身就是1到n所有整数的乘积，相应1到n所有整数都去整除n的阶乘。比如100!可以被1-100以内的任何整数整除。相应可以判断100!/2、100!/3都是整数。
但是如果在100!的基础上加1，则不能被2-100以内的任何整数整除。可以有两种考虑方式：1. 100!是2-100以内整数的倍数，现在多了1个，除以2就要多1个，余1，除以其他的也是余1，既然有非零的余数，显然就不是整除。2. (100!+1)/2可以拆分为100!/2+1/2，左边是个整数，右边是0.5，加在一起是个正儿八经的小数，显然不能整除。
既然100!+1不能被2-100以内的任何整数整除，但它作为一个大于1的正整数显然又会有质因数，那它的质因数肯定不能在2-100以内的质数里找到了，所以它最小的质因数也在100以上。
考试的时候还会考比如100!+2除以200余多少的问题，200可以拆成2*100，在100!里显然有2和100这两个因数，所以可以被200整除，所以余数取决于多出来的2，多2，所以余2。
之前还考过判断质数的题，比如100!+2, 100!+3, 100!+4, 100!+5, 问哪个是质数。哪个都不是，因为+2可以提取出2这个因数，+3可以提取出3这个因数，相应他们在1和自身以外都有2或者3之类的因数，所以都不是质数。
我们来看几个难题的例子。
PS：k为1 more than 2到29中所有质数的乘积，就是k=1+2*3*5*7*…*29。判断 I：k是30的倍数 II：k是29以内某个质数的倍数 III：k是29以外质数的倍数。哪些是对的。
解析：可以把x定义为2到29所有质数的乘积，所以k=x+1。x有2、3、5这三个因数，所以x是30的倍数，k比x多1，所以x不可能是30的倍数，除30余1，所以第一个不对。
x的质因数里面有2到29所有的质数，所以x是29以内所有质数的倍数，k比x多1，所以k除以2到29以内任意质数都会余1，所以不是29以内任意质数的倍数，所以第二个也不对。
关于第三个，考试的时候没有选项说三个都错的，所以很明显可以确定第三个一定对。对的原因是，k大于1，而且是整数，所以它不是质数就是合数，如果是质数的话它的质因数就是自己，如果是合数的话就意味着有其他质数是它的因数。又因为考虑第二个结果的时候我们知道2到29以内的任何质数都不是k的因数，但k又一定有质因数，所以k的质因数肯定是超过29的，所以k一定是29以上质数的倍数。以前也出现过一个说法是k的最小质因数大于29，这么说也是对的。
2. For every positive even integer n, the function h(n) is defined to be the product of all the even integers from 2 to n, inclusive. If p is the smallest prime factor of h(100) + 1, then p is
A. between 2 and 10
B. between 10 and 20
C. between 20 and 30
D. between 30 and 40
E. greater than 40
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