AMC数学竞赛排列组合及概率题例题解答

AMC不同于其他的数学比赛，它的体系环环相扣，颇有打怪升级的感觉。

对于中国学生来说，AMC 8/10/12，包括之后的AIME都是可以参加的，但再往上的USAMO则是为了选拔美国奥数国家队队员设立的，相当于我们国内的“国家集训队”，只有美国公民或美国/加拿大的合法居民可以参加。

而对于名校申请，特别是MIT、斯坦福、普林斯顿，光从AMC晋级AIME还不够，如果AIME成绩要达到晋级USAMO的成绩，则更有优势，因为每年晋级USAMO的学生人数不超过300人，是当年全美乃至全北美洲数学最强的学生，极其受到藤校的青睐。

随着参赛人数逐年增加，想在AMC中胜出越来越难，我们也为大家准备了AMC四大题型及解题秘笈。

AMC四大题型及解题秘笈

题型四：排列组合及概率题

第四种题型是藤子老师个人最喜欢的，但也是很多同学觉得困惑的。

排列和组合是组合数学的基本概念，而概率又是由排列数和组合数进行“排列组合”，也就是加减乘除各种运算而得到的。只要概念清晰，方法系统化，可以说理论上一切的概率问题都可以计算出来。

在学习的初期阶段，或者对于简单的排列组合或者概率题，用“穷举法”，或者一些简单的计数方法，是允许的，但是如果一直保持这样，不能发展到熟练使用排列数和组合数的话，解题能力就会极大受到限制。

对于很多初学的同学，第一个难点是分不清排列数（Arrangement，简称A）和组合数（Combination，简称C）。A和C的本质区别在于：决策的顺序对结果有没有影响。

常见的排列A的例子	常见的组合C的例子
从一个班级里面选几个同学，让他们依次登台演出	从一个班级里面选几个同学，组成一个团体操队
在一堆书里面选出几本，然后放到书架上	从一堆书里面选出几本，放在包里带着
男同学和女同学各选出N人，一男一女配对跳华尔兹	男同学和女同学各选出N人，大家一起跳集体舞

在上表左边的例子中，先挑选谁后挑选谁对结果是有影响的；而在右边的例子中，先挑谁后挑谁对结果无影响，有影响的只是谁被挑了谁没被挑而已。

有了基本的排列数和组合数以后，接下来根据下表中的规则去匹配应该用哪种四则运算即可，对于复杂的概率题一定是多种运算相结合的。

加法	减法	乘法	除法
几种不同时发生的情景	扣除不同情景中相重叠，重复计算的部分	几个同时发生的事件	消除顺序（本该没有顺序，但在之前的计算中考虑顺序了）

2011年AMC10 A卷第21题，不太复杂的一道排列组合题。

解题思路：首先，五个顶点我们视为不同的，所以对它们的涂色是有顺序的。关键是要把顺序排列好，还要把情况分解好。我们用下面的树形图来表示。把每一个分支的计数算出来，最后加和就是总数了。

在学习初等数学的阶段，一定要注重概念的完全掌握理解，哪怕是简单的题，学习用正规的系统的方法去解答，才能有利于将来高等数学的学习。一个好的解题习惯养成不容易，但是坏的习惯一旦形成，就会很难改掉。