2024-2025年度的USACO竞赛12月赛季已经落下帷幕，机构也收到了不少同学晋级的喜讯，有从铜级直升金级的大神级选手，也有非满分晋级1月赛季继续冲击奖项的同学。那么在USACO计算机竞赛中能更好地帮助我们解决复杂问题的“深度优先搜索”究竟应该如何应用呢？
在USACO（美国计算机奥林匹克竞赛）中，深度优先搜索（DFS）是解决许多复杂问题的关键工具。今天，我们一起来探索DFS在USACO中的应用及其技巧！
什么是DFS？
在学习铜牌阶段内容时，大家在USACO Guide中会发现一个名为Complete Search（完全搜索）的章节，在该部分，我们通常都会引入一个N皇后问题来带领大家了解全排列的思想，但是很多同学在学习N皇后问题的时候基本都是一知半解，对于代码的逻辑并不能深入了解。实际上N皇后问题的实现借助的就是DFS的思想。
DFS是一种用于遍历或搜索图和树的算法。它沿着每条可能的分支尽可能深入地搜索，直到无法继续为止，然后回溯到上一个节点继续搜索其他分支。在N皇后问题中，我们便是采用了DFS的思想，放置一个皇后之后，会在下一行进行尝试，如果下一行所有的位置均不能放置，那么会回溯到上一行，将上一行的皇后重新进行放置。继续尝试下一行的放置，如果无法放置，则会回溯到上一步重新进行尝试。
DFS遍历过程
以Tree（树）数据结构为例，我们来深入理解一下DFS的应用流程：
上图是一个树，节点1是根节点。节点1连接到节点2和节点3。节点2连接到节点4和节点5。节点3连接到节点6。DFS的基本思想是尽可能深地探索每一个分支。
当遇到一个节点时，首先访问该节点的一个未被访问的子节点，直到没有未被访问的子节点为止，然后回溯。对于上述树结构，DFS的遍历顺序如下：
1. 访问节点1（根节点）
2. 访问节点2（从节点1开始，选择左子节点）
3. 访问节点4（从节点2开始，选择左子节点）
4. 回溯到节点2
5. 访问节点5（从节点2开始，选择右子节点）
6. 回溯到节点2，再回溯到节点1
7. 访问节点3（从节点1开始，选择右子节点）
8. 访问节点6（从节点3开始，选择右子节点）
完成遍历
DFS的代码实现
DFS通常通过递归函数实现，代码简洁直观，以下是一个在图中使用DFS访问每一个节点的代码，备考时可以以该代码为基础框架，进行改进和优化。
DFS在USACO中的常见应用
1. 连通性检查
- 判断图中是否所有节点都连通。
- 识别独立的子图，帮助解决分组或连接问题。
2. 环检测
- 识别图中的环路，常用于检测冗余连接或避免重复路径。
3. 路径寻找
- 在迷宫或网格中找到从起点到终点的路径。
- 计算路径的数量或最短路径。（Gold）
真题演示
我们以2019年3月铜牌第三题为例，题目如下：
题目背景：在3019年，牛类经历了显著的进化，发展出各种有趣的特征。这些进化过程可以用一棵树来描述。
树的结构：
根节点：代表最初的祖先牛，没有任何特殊特征。
内部节点：每个节点代表一次进化事件，可以是所有后代牛获得一个新特征，或者是分裂出部分后代获得新特征，部分不获得。
叶节点：代表最终的牛的子群体，每个叶节点的特征组合都是独一无二的。
“Proper”进化树的定义：一个“proper”的进化树满足以下条件：每个新特征只在树中的一条边上出现一次。也就是说，每个特征都是在树的某个特定的进化步骤中产生的，而不会在多个独立的进化路径中独立出现。
任务：给定若干牛的子群体及其特征组合，判断是否存在一棵“proper”的进化树能够解释这些子群体的特征组合。
使用DFS思想解决问题
1. 收集所有特征
首先，收集所有子群体中的特征，建立特征的集合。
2. 构建特征依赖图
初始化：
- 将所有特征作为图的节点。
- 创建一个邻接表来表示依赖关系。
确定依赖关系：
- 对于每个子群体，比较其特征与其他子群体的特征，找出可能的进化路径。
- 如果某个特征只在特定的子群体中出现，则可以推断它的进化步骤。
3. 检测环路
- 使用DFS遍历图，检测是否存在环路。
- 如果存在环路，说明某些特征存在多重进化路径，不满足“proper”进化树的要求。
4. 拓扑排序
- 如果图中没有环路，可以进行拓扑排序，确定特征的进化顺序。
- 拓扑排序确保所有特征的进化顺序是线性的，没有冲突。
5. 判断结果
- 如果图中没有环路且拓扑排序成功，输出"yes"。
- 否则，输出"no"。
DFS学习建议
以上是DFS的讲解，随着近些年难度的增加，铜牌阶段的题目也可以采用DFS算法来解题，因此DFS的考察范围贯穿所有段位。提升DFS的方式是多练习，真题通常体量比较大，在初期阶段，大家可以在leetcode中练习DFS中的简单题目，从简单题目入手，逐步过渡到USACO中的真题。
【竞赛报名/项目咨询+微信：mollywei007】
