导师简介
如果你想申请香港科技大学数学系博士，那今天这期文章解析可能对你有用！今天Mason学长为大家详细解析香港科技大学的Prof.Cai的研究领域和代表文章，同时，我们也推出了新的内容“科研想法&开题立意”，为同学们的科研规划提供一些参考，并且会对如何申请该导师提出实用的建议！方便大家进行套磁！后续我们也将陆续解析其他大学和专业的导师，欢迎大家关注！
蔡剑锋教授现任香港科技大学数学系教授,2007年获得香港中文大学数学博士学位。他的主要研究领域包括计算调和分析、图像处理、数据分析、优化和数值线性代数。其研究工作在计算数学和应用数学领域产生了重要影响。
研究领域
导师的主要研究领域包括:
- 计算调和分析
- 优化理论
- 数值线性代数
- 医学图像处理
- 张量数据分析
- 压缩感知
研究分析
(1) "Quantum State Tomography via Nonconvex Riemannian Gradient Descent"
(Physical Review Letters, 2024)首次将非凸黎曼梯度下降方法应用于量子态层析成像,提供了一个新的量子计算优化框架。
(2) "Solving Systems of Phaseless Equations via Riemannian Optimization With Optimal Sampling Complexity"
(Journal of Computational Mathematics, 2024)开发了求解无相位方程系统的优化算法,在采样复杂度上达到了理论最优。
(3) "Image Restoration: Structured Low Rank Matrix Framework for Piecewise Smooth Functions and Beyond"
(Applied and Computational Harmonic Analysis, 2022)提出了一个基于结构化低秩矩阵的图像恢复框架,显著提高了重建质量。
(4) "Data Driven Tight Frame for Compressed Sensing MRI Reconstruction"
(SIAM Journal on Imaging Sciences, 2020)发展了一种数据驱动的紧框架方法,用于压缩感知磁共振成像重建。
(5) "Provable Tensor-Train Format Tensor Completion by Riemannian Optimization"
(Journal of Machine Learning Research, 2022)提出了一种基于黎曼优化的张量完成算法,理论上证明了其收敛性。
(6) "Generalized Low-rank plus Sparse Tensor Estimation by Fast Riemannian Optimization"
(Journal of the American Statistical Association, 2022)开发了一种快速的黎曼优化算法用于低秩加稀疏张量估计。
项目分析
1."Provable and Efficient Algorithms for Data Recovery on Manifolds from Linear Samples"
- 研究领域：数据恢复理论
- 主要内容：开发从线性样本中恢复流形上数据的高效算法
- 创新点：结合几何学和优化理论,提出新的恢复框架
2. "A Mathematical Theory of Patch-Based Image Restoration Methods"
- 研究领域：图像处理
- 主要内容：建立基于图像块的图像恢复方法的数学理论
- 创新点：系统化研究图像块方法的理论基础
3. "Non-Convex Optimization for Tensor Data Analysis"
- 研究领域：优化理论与张量分析
- 主要内容：研究张量数据分析中的非凸优化问题
- 创新点：发展新的非凸优化算法
研究想法
(1) 量子计算优化理论
- 研究量子态重构的非凸优化算法
- 探索量子线路优化的数学框架
- 发展量子机器学习的理论基础
- 设计量子误差修正的优化方法
(2) 张量分析与计算
- 发展高阶张量分解的新算法
- 研究张量网络在机器学习中的应用
- 探索张量完成问题的几何性质
- 设计高效的张量运算并行算法
(3) 非凸优化理论创新
- 研究黎曼流形上的优化算法收敛性
- 发展随机优化的新理论框架
- 探索优化算法的逃离鞍点机制
- 设计自适应步长选择策略
(4) 医学图像处理创新
- 开发多模态医学图像融合算法
- 研究低剂量CT图像重建方法
- 设计实时MRI重建框架
- 探索基于深度学习的图像增强技术
(5) 大规模数据分析方法
- 发展分布式优化算法
- 设计高维数据降维新方法
- 研究稀疏表示的理论框架
- 开发在线学习算法
(6) 人工智能与科学计算融合
- 探索物理信息神经网络
- 研究深度学习辅助的数值求解
- 设计可解释的机器学习模型
- 发展混合计算范式
申请建议
(1) 核心理论准备
- 深入学习凸分析与优化理论
- 掌握数值分析关键方法
- 理解泛函分析基本原理
- 学习随机过程与概率论
(2) 专业方向准备
- 研究张量分析基础理论
- 学习图像处理数学原理
- 掌握机器学习数学基础
- 了解量子计算数学框架
(3) 计算能力培养
编程技能
- 精通Python科学计算库
- 掌握MATLAB数值计算
- 了解并行计算框架
算法实现能力
- 实现经典优化算法
- 编写图像处理程序
- 开发张量计算库
(4）研究能力提升
文献研究能力
- 系统阅读领域经典论文
- 跟踪最新研究进展
- 总结研究方法演进
- 识别关键研究问题
问题解决能力
- 训练数学建模思维
- 培养算法设计能力
- 提高理论分析技巧
- 锻炼实验设计能力
(5) 个人陈述
- 突出数学背景优势
- 展示编程实践经验
- 强调研究热情与动机
- 表达学术发展规划
(6) 研究能力展示
- 准备代码演示案例
- 总结过往研究经验
- 设计创新研究提案
- 展示问题分析能力
博士背景
Felix，美国top10学院数学系博士生，专注于代数拓扑和高维数据分析的交叉研究。擅长运用持续同调理论和拓扑数据分析方法，探索复杂网络结构和高维数据集的几何特性。在研究拓扑机器学习算法及其在材料科学中的应用方面取得重要突破。曾获美国数学协会青年研究员奖，研究成果发表于《Annals of Mathematics》和《Journal of the American Mathematical Society》等顶级期刊。
【竞赛报名/项目咨询+微信：mollywei007】
