IB数学SL等比数列应用中的年金终值与分期还款问题

学习IB数学SL的同学们在遇到annuity和amortization的问题时是怎样计算的呢？

是不是直接用计算器或者app里的finance功能，很少手动计算呢？

不要忘了，无论是annuity还是amortization，都是等比数列理论下的应用，它们的计算也是有相应的公式的，在没有计算器的情况下，我们可以用公式手动计算。

现在我们就看一下它们的公式是怎样推导出来的，这里面牵扯到一个教材上没有说清楚的细节问题。

先来看annuity，也叫年金终值问题，通俗地说就是每年存一笔固定数额的钱在银行，并且按照复利计息。

利息可以按年为周期，也可以按半年，季，月为周期，简单起见我们就按年为周期来说。

每年存在银行里的钱会包括本金和利息两部分的增长，但是这里有个细节，就是每年存入的钱是“期末存入”，也就是在年末最后一天存入，而不是第一天，所以当年存入的本金是不会在当年产生利息的，次年才会产生。

这是题目中不会细说的默认的条件，但教材上居然也对此只字未提，很容易导致第一次接触的同学一头雾水。

按照这种方式，我们来推导n年之后的本息和公式，也就是所谓的年金终值FV。设每年存入的固定数额本金是A，年利率是r，那么

1、第1年末只有本金A。

2、第2年末有本息和A(1+r)，以及又存入的第2笔本金A，共A(1+r)+A。

3、第3年末有本息和(A(1+r)+A)(1+r)，以及又存入的第3笔本金A，共(A(1+r)+A)(1+r)+A，这里我们把它变形成

这样更容易看出规律。

4、根据规律，第4年末是

......

n、第n年末是

这很明显是一个等比数列的前n项和，首项是A，公比是1+r，所以

类似地，amortization分期还款问题也就是喜闻乐见的花呗问题，首先有一笔现值PV，这是你最开始欠的本金，然后它每年会产生利息，利率是r，也是复利。

同时你每年按照一个固定的数额A还钱，已经还掉的部分不再产生利息。求A的值，能在n年之后恰好还完所有的本息和。

同样的细节，这里也是“期末还钱”，也就是每年的最后一天还，所以

1、第1年末欠的本息和是PV(1+r)，然后还掉A，还剩PV(1+r)-A。

2、第2年末欠的本息和是(PV(1+r)-A)(1+r)，然后又还掉A，还剩(PV(1+r)-A)(1+r)-A。

3、第3年末欠的本息和是((PV(1+r)-A)(1+r)-A)(1+r)，然后又还掉A，还剩((PV(1+r)-A)(1+r)-A)(1+r)-A。为了看出规律，变形成

4、根据规律，第4年末剩

......

n、第n年末剩

既然要在第n年末恰好还完，那么这个式子就要等于0：

这样就解出