AP物理1和AP物理C力学基础考点分析！

在许多美国高中开设的AP课程里，学校老师教授的内容不一定完全按照考试大纲的要求来，有的可能以某本大学教材为主要依据，讲一些AP中不考的内容；还有的会出一些偏发散思维、科目结合的题目，用到的做题方法也是AP物理考试中不会出现的，更像是物理奥林匹克竞赛的风格。如果时间允许的话，其实这样的教学对于同学们深度理解知识、提高综合能力其实是很有好处的。

在课程中，物理教研组的老师从同学在学校做的题目里发现了一类有意思的问题：看似是AP物理C力学的内容，既考察了力学知识，但角度更刁钻，比如抛物线集合的包络问题；又用到了微积分，然而却不是常见的微积分在力学中的应用，比如位移求导得速度、变力积分求做功等，而是更深的微积分知识的应用，例如微积分AB/BC大纲里Unit 8: Applications of Integration里面的旋转体体积的求法（Determining volume with cross-sections, the disc method, and the washer method）。

这篇文章就拿两道题给大家“赏析”一下力学的题还可以怎么出，它们的共性是：都用到了disc method积分计算抛物线旋转体的体积。

先来看第一题：

题目大意是：烟花竖直上抛到最高点爆炸成无数碎片向各个方向做初速率相同的斜抛运动，求所有碎片落地前经过区域的体积。

读完题目我们可以大致分析一下解题思路：

1. 烟花竖直上抛到最高点，由初速度很容易求得最大高度，这是【AP物理1和AP物理C力学】的基础考点；

2. 爆炸形成的碎片每一个都做斜抛运动，要知道它们经过的位置可以分析轨迹方程，而轨迹方程已经不是AP力学的考点了，但是在【A Level FM】里会有涉及； 

3. 在一个竖直平面内各个抛物线覆盖的区域会有一个包络线（如图中红色虚线所示），可以想办法求出包络线的方程，它其实也是一个抛物线。轨迹包络线是【高中物理竞赛】的考点之一。例如，在国际物理奥林匹克竞赛（IPhO）2012年的第一题第1小问，就考察了如何计算这个包络表达式里的参数。  

4. 但是在水平面内东南西北各个方向上都有这样一个包络线，所有碎片覆盖的区域体积应该拿包络线绕竖直轴旋转一周得到，这要用到【AP微积分】的旋转体体积求法相关知识了。

图片来自网络：https://www.zhihu.com/question/54158310/answer/138744996

然后说具体的计算过程：

1. 计算爆炸高度。

初速度v₀=20m/s，重力加速度取g=10m/s²，根据上抛运动公式可求得爆炸高度为：

2.计算发射角为θ的抛物线轨迹方程。

建立xy坐标系，假设一个碎片的轨迹在第一象限，碎片初速度v₁=15m/s，则水平和竖直位置与时间的函数关系如下：

通过第一个式子将t表示成t=v₁cosθ代入第二个式子消掉参数t可得轨迹方程为：

3.计算包络线方程。

可以从图上看出，包络线是所有抛物线覆盖区域的上边缘，但是要特别注意它不是各个抛物线最高点的集合；抛物线上任意一点(X,Y)的纵坐标Y，是各个抛物线在横坐标x=X时对应的纵坐标y当中的最大值。也就是我们要找到一个发射角θ，使得x=X时，以下函数取最大值：

因此，令导数为0：

得到包络线方程：

由此方程可以看出，这个包络线也是一个抛物线。在国际物理奥林匹克竞赛（IPhO）2012年的Problem T1 Part A的第i小问，就考了方程里两个参数的求解，但已知条件和解题方法略有不同。作为竞赛，这只是一个分值为0.8分的小问呢。有兴趣的同学可以在IPhO官网上查看问题和解析。

https://www.ipho-new.org/documentations#past-ipho-problems-and-solutions

4.计算旋转体的体积。

这里的基本方法是把旋转体看作由无数多个薄圆盘的叠加，如下图所示，函数y=x²构成的旋转体可以切成好多个半径为的圆盘，每个圆盘的体积是πx²dy，再做个积分就是这个高度为4的旋转体的体积了。

图片来自网络：http://xaktly.com/VolumesDisk.html

那么在这道题中，包络线方程已经求出来了，可以改写成：

且高度范围是从0到最高点，所以最后的体积就是：

化简得：

带入数据即可得V=6.9×10⁴ m³。

是不是已经感受到了这类题目的乐趣？那我们再来看一道和牛顿运动定律、圆周运动结合的题，留给大家思考、练习。

题目大意是：杯子里的水被搅起来后可看作每个粒子都在做相同角速度的圆周运动，求证水即将洒出来的时候水面的方程可以写作一个抛物面，以及对应的最大角速度。

先来看(a)问，为什么水面会是一个抛物面。给大家提示一下解题思路：先列牛顿第二定律方程如下，求得tanθ。这题的关键在于注意到角度θ是水面的切线与水平面的夹角，那tanθ就是切线斜率，进而也就是函数z(r)的导数。所以用积分可得函数方程。

再说(b)问，水静止和水转起来溢出杯子边缘这两个状态的联系是什么呢？就是水的体积不变，进而水面和杯子顶部之间的空腔体积也不变。

根据题目条件，水静止时，空腔是一个半径为4cm高度为2cm的圆柱体，而搅拌起来后，空腔变成了(a)问抛物线的旋转体，可以用“叠圆盘”的方式计算体积。令两者体积相等即可。试试看，你能算出最后的角速度吗？

通过上面两道题就可以感受到难题的情景分析和普通AP题目的不同，以及微积分在物理中的应用远不止AP物理C当中涉及的那些，还有更多有意思的内容等待同学们挖掘。有兴趣往物理竞赛发展的同学可以好好研究一下～